ATIVIDADES PRÁTICAS SUPERVISIONADAS 1° ETAPA

ATPS – 1ª ETAPA

Sistemas de Equações Lineares: definição, solução e classificação

1° - Definição de equação linear e sistema de equações lineares

Uma equação linear é uma equação composta exclusivamente de adições e subtrações de termos que são constantes ou o produto de uma constante pela primeira potência de uma variável.

Uma equação linear em n variáveis sobre o corpo F é uma equação que pode ser colocada na forma , sendo que os escalares são denominados coeficientes, e b é chamado de termo independente, ou termo constante.

Um sistema de equações lineares (ou sistema linear) é uma coleção de equações lineares envolvendo o mesmo conjunto de variáveis.

Um sistema geral de m equações lineares com n incógnitas (ou variáveis) pode ser escrito como:

Aqui, são as incógnitas, são os coeficientes do sistema, e são os termos constantes.

2ª - Solução de equação linear e de sistemas de equações lineares.

Uma solução da equação linear é uma n-upla (um vetor) , cujas entradas sj podem ser colocadas no lugar de cada xj, para , de modo que a igualdade seja verdadeira. O conjunto solução de uma equação linear é aquele formado por todas as suas soluções.

Por exemplo, ( − 1, − 1) é uma solução da equação linear x + 3y = − 4, uma vez que , mas (1,5) não.

No caso em que a quantidade de variáveis em uma equação linear é menor ou igual a três, pode-se associar ao seu conjunto solução, uma interpretação geométrica.

● Se n é igual a 2, a equação linear tem como correspondente geométrico uma linha reta.

Exemplos

pode ser representada pela reta que passa pelos pontos (0,5) e (5,0).

corresponde a reta que contém os pontos ( − 4,0) e (2,3).

Observe que o ponto (2,3) também está na reta dada pela primeira equação (veja a figura).

● Se n for 3, o conjunto solução é representado geometricamente como um plano no espaço tridimensional.

Exemplo:

Os pontos (x,y,z) que são soluções da equação linear x + y + z = 1 estão todos sobre o plano definido por A = (1,0,0), B = (0,1,0) e C = (0,0,1).

Uma solução de um sistema linear é uma n-upla de valores s = (s1,s2,....,sn) que simultâneamente satisfazem todas as equações do sistema.

Exemplo

Considere os sistemas de equações lineares apresentados acima.

tem como sua solução (1, − 2, − 2).

não tem qualquer solução, pois não existem números x1 e x1 cuja soma seja 2, e ao mesmo tempo seja nula.

, embora seja formado por uma única equação linear, admitem uma infinidade de soluções, todas da forma (2β + 3γ,β,γ).

3ª Classificação dos sistemas lineares

Os sistemas lineares podem ser classificados quanto a possibilidade de obtenção de soluções, dentro do conjunto numérico ao qual os sistemas devem ser resolvidos. Inicialmente, encontramos dois tipos de sistemas:

● Impossíveis (ou inconsistentes) são os sistemas que não têm solução, geralmente por conterem equações lineares que se contradizem. Por exemplo:

Observar que as equações apresentam o inconveniente de apresentar a mesma soma, mas com resultados diferentes, o que leva à impossibilidade de resolver o sistema. O sistema impossível (SI) sempre resulta numa contradição. Vale ressaltar que o conjunto numérico ao qual a solução pertence é fundamental na determinação da possibilidade do sistema; por exemplo:

É considerado impossível dentro do conjunto dos números naturais, pois não há nenhum número natural que somado em dobro 2y a outro número natural x resulte em um valor menor do que ele próprio y somado ao mesmo número x. A solução real, (14,-2), é descartada se restringirmos a solução ao conjunto de números naturais (-2 não é natural).

● Possíveis (ou consistentes) são todos os sistemas que não levam a uma contradição, e portanto admitem soluções dentro do conjunto numérico ao qual estão designados. Os sistemas possíveis, por sua vez, se subdividem em dois tipos:

- possíveis determinados (SPD) são os sistemas que possuem apenas uma solução; é possível identificar uma n-upla capaz de resolver todas as equações, única. Como exemplo, além daquele citado na seção anterior, o sistema:

Permite como solução real a dupla (-6, 8).

- possíveis indeterminados (SPI) são os sistemas que permitem infinitas soluções, porque apresentam os chamados graus de liberdade, ou seja, permitem soluções arbitrárias. Por exemplo, o sistema:

Permite uma infinidade de soluções como (10,2), (12,4), (19,11), etc. Em todas elas, basta que a relação entre o primeiro elemento e o segundo seja (α,α - 8). Também é indeterminado o sistema:

Pois apresenta mais incógnitas do que equações, sendo por isso impossível "trabalhar" as incógnitas de modo a obter valor preciso para cada uma. A solução é qualquer tripla do tipo (α, 8 - α, -2). Observar que o terceiro elemento pode ser definido, mas não os dois outros, de modo que essa é a mesma situação do sistema indeterminado do exemplo anterior.

ATPS – 4ª ETAPA

Sistemas de Equações Lineares: modelagem

1° - Sistema de equações lineares fazendo uso da Lei de Kirchhoff.

Sistema, utilizando Kirchoff

Para o circuito da Figura 3, obtemos através das Leis de Kirchoff:

Onde E e R são parâmetros, que variam de circuito para circuito.

2° - Determinando a matriz dos coeficientes das variáveis e a matriz ampliada desse sistema linear.

Utilizando Leis de Kirchoff

Fazendo:

as equações do circuito podem ser expressas como:

ATPS – 5ª ETAPA

Métodos de Resolução de Sistemas de Equações Lineares: Regra de Cramer

1° - Restrição desse método de resolução de sistemas lineares.

Regra de Cramer é uma das maneiras de resolver um sistema linear, mas só poderá ser utilizada na resolução de sistemas que o número de equações e o número de incógnitas forem iguais.

Portanto, ao resolvermos um sistema linear de n equações e n incógnitas para sua resolução devemos calcular o determinante (D) da equação incompleta dos sistema e depois substituirmos os termos.

2° - Condição sobre o determinante da matriz incompleta do sistema linear para que ele possua solução única.

Deverá ser um Sistema Possível Determinado (SPD) - são os sistemas que possuem apenas uma solução; é possível identificar uma n-upla capaz de resolver todas as equações, única. Como exemplo, além daquele citado na seção anterior, o sistema:

OBSERVAÇÃO: FALTA CONCLUIR O ATPS N° 5 E FAZER O 6°.

ATPS – 6º ETAPA

Existem três tipos de operações elementares que podem ser realizadas sobre um sistema linear de equações de forma a transformá-lo em um outro sistema equivalente mais simples que o anterior. Na sequência trabalharemos com um exemplo para mostrar como funcionam essas operações elementares sobre linhas. O segundo sistema (o que aparece à direita) já mostra o resultado da ação da operação elementar. Nas linhas iniciais de cada tabela, você encontra a operação que foi realizada.

1. Troca de posição de duas equações do sistema

Troca a Linha 1 com a Linha 3

x + 2y - z = 2

2x-3y+2z=0

4x + y - 5z = 9 ~ 4x + y - 5z = 9

2x-3y+2z=0

x + 2y - z = 2

2. Multiplicação de uma equação por um número não nulo

Multiplica a Linha 1 pelo número 3

x + 2y - z = 2

2x-3y+2z=0

4x+y-5z=9 ~ 3x + 6y - 3z = 6

2x-3y+2z=0

4x+y-5z=9

A equação resultante fica na linha 1

3. Adição de duas equações do sistema

Adição da Linha 2 com a Linha 3

x+2y-z=2

2x -3y + 2z = 0

4x + y - 5z = 9 ~ 3x+6y-3z=6

2x-3y+2z=0

6x - 2y - 3z = 9

A equação resultante fica na linha 3

Dizemos que dois sistemas lineares são equivalentes quando possuem o mesmo conjunto solução. Para realizarmos a equivalência entre dois sistemas precisamos aplicar as técnicas de resolução de sistema: método da adição ou método da substituição.

Os dois sistemas a seguir são equivalentes, pois eles possuem o mesmo conjunto solução. Observe:

Utilizando os métodos demonstrados anteriormente, podemos criar situações no intuito de realizar a equivalência entre dois sistemas. Veja:

Exemplo 1

Determine os valores de a e b para que os sistemas a seguir sejam equivalentes.

Vamos resolver o sistema no qual os coeficientes possuem valores indicados.

Agora vamos substituir os valores de x e y no sistema com os coeficientes a e b.

ax + 3y = 21 → a * 9 + 3 * 1 = 21 → 9a + 3 = 21 → 9a = 21 – 3 → 9a = 18 → a = 2

6x + by = 55 → 6 * 9 + b * 1 = 55 → 54 + b = 55 → b = 55 – 54 → b = 1

Os coeficientes a e b devem assumir os valores 2 e 1 respectivamente, para que os sistemas sejam equivalentes.