ATPS CALCULO III

Etapa 3

Passo 2

Encontremos a área da região S1 = {x,y / x,y Є R} delimitada pelas curva abaixo

1. Escrevamos as equações y = ax+b

Pontos (1,1) e (0,0): 1 = a1+b

                         0 = a0+b       b = 0 [pic 1]

                        Assim: 1 = a+b, se b = 0

                        A + 0 = 1       a = 1                                [pic 2]

                        y = x (equação 1)

Pontos (2,½) e (0,0) : ½ = a2 + b

                          1 = 4ª + 2b               b = 0[pic 3]

                          Assim: 4ª = 1        a = ¼[pic 4]

                                      y = ¼x (equação 2)

A área S1 será, então, dada por:  + [pic 5][pic 6]

Resolvendo separadamente

 =  =  =  ¾ =  ¾() = [pic 7][pic 8][pic 9][pic 10][pic 11][pic 12][pic 13]

= ¾. ½ =  0,375

  =   =  -  = [pic 14][pic 15][pic 16][pic 17]

=[ – ] - ¼ [[pic 18][pic 19][pic 20]

= 0,6931 - ¼[[pic 21]

=0,6931 - ¼[2-½]

=06931 – 0,375

= 0,318

Portanto: S1 = 0,375 + 0,318 = 0,693

Assim a alternativa é verdadeira.

Encontremos a área na região S2= {x, y / x, y Є R} delimitada pelas curvas abaixo.

1. A1 =  =   [pic 22][pic 23]

A1 =                  Não converge, podemos ver claramente pelo gráfico ao lado.[pic 25][pic 24]

Em x = 0, a função diverge.

O mesmo ocorre para  = . [pic 26][pic 27]

Assim:

A2 =         não converge[pic 29][pic 28]

Como as duas integrais não convergem não se consegue determinar a área S2.

Portanto a alternativa é falsa.

Etapa 4

Passo 2

Desafio A

Seja ƒ continua em [a,b], e seja R a região delimitada pelo gráfico ƒ no eixo x e pelas retas verticais (x = a) e (x = b). O volume V do solido em revolução gerado pela revolução em R em torno do seu eixo é:

V=lim ∑π[ƒ(wk). ∆ = [pic 30][pic 31][pic 32]

||p||          0[pic 33]

Assim temos:

ƒ(x) = y = 4 ,  = ¼ ,  , = 4 , r : eixo –x (ou y = 0)[pic 34][pic 35][pic 36]

V=dx = π  = 16π[pic 37][pic 38][pic 39]

V=16π[] = 16π[()-()] = 16π [8-0,03125][pic 40][pic 41][pic 42]

V= 127,5π u.a.

A alternativa esta errada, pois (128-17 > 127,5π[pic 43][pic 44][pic 45]

Considere um sólido S obtido pela rotação, em torno do eixo x, da região delimitada entre  o gráfico da função ƒ e o eixo x no0 intervalo [a, b], sendo ƒ (x) ≥ 0 neste intervalo e ƒ possuindo uma derivada contínua. A área da superfície de S será dada por:

A = [pic 46]

Calculemos a derivada de ƒ (x)

ƒ (x) = 4  = 4 (x[pic 47][pic 48]

 (x) = 4.½ ()[pic 49][pic 50]

ƒ (x) = [pic 51]

Calculemos a integral primeiramente

A = ) ) dx  =  ( ) dx  = [pic 52][pic 53][pic 54][pic 55]

A =  ( +  dx =  (1 + 2 ) dx  = [pic 56][pic 57][pic 58][pic 59][pic 60]

A =  +  )dx =  + 2   dx )[pic 61][pic 62][pic 63][pic 64][pic 65]

Substituindo:

u = [pic 66]

du = ½[pic 67]

A = 4  +  dx = 4 +   = 2 +   + C[pic 68][pic 69][pic 70][pic 71][pic 72][pic 73][pic 74][pic 75]

A = 2x +   + C [pic 76][pic 77]

A =  x ( + 3) + C[pic 78][pic 79]

Substituindo os limites de integração temos:

A = 2π [ x ( +3) ][pic 80][pic 81][pic 82]

A =  [x ( + 3)][pic 83][pic 84][pic 85]

A =  {[4  )] – [¼ ( + 3)]}[pic 86][pic 87][pic 88]

A =  [4 (5) – [¼ ( )]}[pic 89][pic 90]

A =  {20 -   } [pic 91][pic 92]

A = [pic 93]

Portanto a alternativa é falsa.

Desafio B

Seja ƒ [a ,b]         R uma função contínua tal     que ƒ (x) ≥0, xЄ[a,b] e R a região limitada pelo gráfico de ƒ , pelas retas x = a e x = b e y = l. considere o solido de revolução S obtido girando a região ao redor da reta y = l. então, o volume V (S) do solido é:[pic 94]

V (S) = πdx[pic 95]

Assim, façamos separadamente:

(s) = π(x)-2 calculemos a integral imprópria[pic 96][pic 97][pic 98]

(s) = π- 4+4)dx[pic 99][pic 100][pic 101]

(s) = π πdx - 4πxdx[pic 102][pic 103][pic 104][pic 105]

Utilizando a formula da redução:

xdx = +  + xdx, onde m = 3[pic 106][pic 107][pic 108]

(s) = πx cos x, π + π-  π [pic 109][pic 110][pic 111][pic 112][pic 113][pic 114][pic 115]

(s) =  π cos x + πx cos x + π + π[pic 116][pic 117][pic 118][pic 119][pic 120][pic 121]

Utilizando a formula de redução novamente para m = 6