ATPS Calculo III - Anhanguera

Etapa 1

Passo 1

O SURGIMENTO DO CÁLCULO DIFERENCIAL INTEGRAL CONCEITOS DE INTEGRAIS E CALCULOS DE AREAS

O cálculo diferencial integral, também chamado de cálculo infinitesimal, ou simplesmente cálculo, é um ramo da matemática desenvolvido a partir da álgebra e da geometria, que se dedica ao estudo de taxas de variações de grandezas (como inclinação de uma reta) e a acumulação de quantidades (como a área debaixo de uma curva ou o volume de um sólido), em que há movimento ou crescimento e que forças variáveis agem produzindo aceleração.

O cálculo foi criado como uma ferramenta auxiliar em várias áreas das ciências exatas. Foi desenvolvido por Isaac Newton (1643-1727) e Gottfried Leibniz (1646-1716), em trabalhos independentes. Historicamente, Newton foi o primeiro a aplicar o cálculo à física, ao passo que Leibniz desenvolveu a notação utilizada até os dias de hoje. O argumento histórico para conferir aos dois a invenção do cálculo é que ambos chegaram de maneiras distintas ao teorema fundamental do cálculo. Newton aperfeiçoou-se nos resultados da tangente e quadratura dos primeiros dois terços do século XVII. Ele afirmava em termos físicos quais eram os dois problemas mais básicos de cálculo: 1) Dado o comprimento do espaço continuamente, isto é, em todo instante de tempo, encontrar a velocidade do movimento, isto é, a derivada em qualquer tempo dado; 2) Dada a velocidade de movimento continuamente, encontrar o comprimento do espaço, isto é, a integral ou a antiderivada, descrita em qualquer tempo proposto, mas no lugar de derivadas, Newton empregou flúxions de variáveis, denominados, por exemplo, de x, e em vez de antiderivadas, usou o que ele chamou de fluentes. A partir de Gregory Newton adotou-se a idéia de que a área entre uma curva y e o eixo horizontal, era dependente do extremo direito, t = x. De fato, Newton pensou na área como sendo realmente gerada pelo movimento da reta vertical t = x. Assim, o flúxion da área era simplesmente yx. Então, a técnica de Newton para encontrar tais quadraturas era encontrar o fluente de y, equivalente a encontrar nossas antiderivadas. As idéias de Leibniz sobre integrais, derivadas e cálculo em geral foram desenvolvidas a partir de analogias com somas e diferenças. Por exemplo, para o teorema fundamental do cálculo, se fosse dada uma sequência finita de números tais como: y,0,1,8,27,64,125 e 216, com diferenças y:1,7,19,37,61 e 89, ele notou que a soma das diferenças, y= (1-0)+(8-1)+(27-8)+......(216-125), alternavam-se em torno da diferença entre o primeiro e o último valor de y, 216-0. Já para Leibniz, uma curva era um polígono feito de um número infinito de lados, cada um com comprimento”infinitesimal”.Leibniz escreveu em 1680, “Eu represento a área de uma figura pela soma infinita de todos os retângulos limitados pelas ordenadas e diferenças das abscissas”, isto é, como ò ydx. Então, “elevando a alturas maiores ”, baseando-se na analogia com somas finitas e diferenças, afirmou que ao encontrar a área representada por ò ydx, deve-se encontrar uma curva Y tal que as ordenadas y são diferenças de Y,ou y=dY. Em tempos modernos,Y é nossa antiderivada, e assim, Leibniz formulou uma afirmação inicial da parte 1 do Teorema Fundamental do Cálculo.

Passo 2

Leiam os desafios propostos

Desafio A

Qual das alternativas abaixo representa a integral indefinida de: ʃa³ + 3 + 3 da?:

3 a³ a

Integrando: ʃ a³ da + ʃ 3 da + ʃ 3 da

3 a³ a

ʃa³da = a³+¹ = a4

33 4 12

ʃ 3 da = ʃ 3a-3 d(a) = - 3a-3 = - 3a-2 = - 3_

a³ -2 2a2

ʃ 3 da = ln|a|

a

Resposta: (b) F(a) =a4 – 3 + ln|a| + C

12 2a²

Desafio B

Suponha que o processo de perfuração de um poço de petróleo tenha um custo fixo de U$ 10.000 e um custo marginal de C¢(q) =1000 + 50q dólares por pé, onde q é a profundidade em pés. Sabendo que C(0) = 10.000 , a alternativa que expressa C(q) , o custo total para se perfurar q pés, é:

(a)C(q) =10.000 +1.000q + 25q²

(b)2C(q) =10.000 + 25q +1.000q

(c)2C(q) =10.000q

(d)2C(q) =10.000 + 25q

(e) 2 3 C(q) =10.000q + q + q

C(q) = ʃ(1000dq+50q)dq=

C(q)=1000q+50q²=

2

C(q)=1000q+25q²+c=

C(q)=1000+25q²+10000

Resposta: (a) C(q) =10.000 +1.000q + 25q²

Desafio C

No início dos anos 90, a taxa de consumo mundial de petróleo cresceu exponencialmente. Seja C(t) a taxa de consumo de petróleo no instante t, onde t é o número de anos contados a partir do início de 1990. Um modelo aproximado para C(t) é dado por: C(t) =16,1.e0,07t. Qual das alternativas abaixo responde corretamente a quantidade de petróleo consumida entre 1992 e 1994?

(a) 56,43 bilhões de barris de petróleo

(b) 48,78 bilhões de barris de petróleo

(c) 39,76 bilhões de barris de petróleo

(d) 26,54 bilhões de barris de petróleo

(e) Nenhuma das alternativas

1992 ~ 1994:

Ct = 2 ʃ4 16,1.e0,07t =

C(2) = 16,1.e0,07.2 => C(2) = Aprox. 18,52 bilhões