ATPS: O Cálculo Integral

Cálculo – III Etapas 3 e 4

ETAPA 3

Passo 1

O Cálculo Integral é o estudo das integrais definidas e as integrais indefinidas. Este processo constitui em encontrar o valor de uma integral na qual chamamos de integração.

A integral indefinida é conhecida como antiderivada (o processo inverso da derivada). G é uma integral indefinida de g quando g é uma derivada de G. (O uso de letras maiúsculas e minúsculas para uma função e sua integral indefinida é comum em cálculo.)

A integral definida insere uma função e extrai um número, o qual fornece a área entre o gráfico da função e o eixo do x. A definição técnica da integral definida é o limite da soma das áreas dos retângulos, que é chamada Soma de Riemann.

Abaixo um exemplo: à distância (D) viajada em um determinado tempo (t).

D=v.t

Antigamente na História os primeiros problemas relacionados com o cálculo das integrais são os problemas de quadratura. Uma das barreiras mais antigas enfrentadas pelos gregos foi o da medição de superfícies, na qual o objetivo era encontrar suas áreas. Quando os antigos geômetras começaram a estudar as áreas de figuras planas, logo as relacionavam com a área do quadrado (por ser uma figura plana simples). Porém, buscavam encontrar um quadrado que tivesse área igual à da figura em questão.

A contribuição fundamental para o Cálculo Integral apareceu somente ao final do século XVI quando a Mecânica levou vários matemáticos a examinar problemas relacionados com o centro de gravidade. Já em 1606, Luca Valerio publicou em Roma, “De quadratura parabolae” (Sobre a quadratura da parábola) onde utilizou o mesmo método grego já citado para resolver os problemas de cálculo de áreas desse tipo.

No trabalho “O movimento dos planetas”, Kepler teve que determinar as áreas de vários setores de uma região elíptica. Este método consistia em pensar na superfície como a soma de linhas (método este que, na prática, apresentava muita imprecisão). Analogamente, para calcular volumes de sólidos, pensava na soma de fatias planas, como discos de pizza. Desse modo ele calculou os volumes de muitos sólidos formados pela revolução de uma região bidimensional ao redor de um eixo. Para o cálculo desses volumes, o mesmo subdividia o sólido em várias fatias, chamadas infinitésimos, e a soma desses infinitésimos o volume dessa região era dado aproximado.