ATPS: O conceito de velocidade instantânea

Passo 1 (Aluno):

Pesquisar o conceito de velocidade instantânea a partir do limite, com. Comparar a fórmula aplicada na física com a fórmula usada em cálculo e explicar o significado da função v (velocidade instantânea), a partir da função s (espaço), utilizando o conceito da derivada que você aprendeu em cálculo, mostrando que a função velocidade é a derivada da função espaço. Dar um exemplo, mostrando a função velocidade como derivada da função do espaço, utilizando no seu exemplo a aceleração como sendo a somatória do último

algarismo que compõe o RA dos alunos integrantes do grupo.

O conceito da velocidade instantânea se da em que se tem uma velocidade em um determinado intervalo do movimento. Tendo a formula do MUV derivando sobre o tempo obtemos:

Logo o limite com ∆t → 0:

Concluindo que quando tendemos o tempo a 0 (zero) a tendência da velocidade instantânea é se tornar a velocidade inicial.

Passo 2 (Aluno):

Montar uma tabela, usando seu exemplo acima, com os cálculos e plote num gráfico as funções S(m) x t(s) e V(m/s) x t(s) para um intervalo entre 0 a 5s, diga que tipo de função você tem e calcular a variação do espaço percorrido e a variação de velocidade para o intervalo dado. Calcular a área formada pela função da velocidade, para o intervalo dado acima.

Supondo que , temos a seguinte função linear:

V(m/s) t(s)

0 0

14 1

28 2

42 3

56 4

70 5

E sabendo que o Espaço é velocidade vezes o tempo ( ):

S(m) t(s)

0 0

7 1

28 2

49 3

112 4

175 5

Passo 3 (Equipe):

Pesquisar sobre a aceleração instantânea de um corpo móvel, que define a aceleração como sendo a derivada da função velocidade. Explicar o significado da aceleração instantânea a partir da função s (espaço), mostrando que é a aceleração é a derivada segunda. Utilizar o exemplo do Passo 1 e mostrar quem é a sua aceleração a partir do conceito de derivação aplicada a sua função espaço e função velocidade.

Aceleração instantânea é a aceleração de um corpo em um determinado instante. Lembrando que a aceleração instantânea é em um dado intervalo e que o tempo tende a 0 (zero) temos então a seguinte equação:

Caso derivarmos a função horaria da velocidade sobre tempo, podemos obter a aceleração. Nesse caso a aceleração é derivada primeira do espaço.

Agora se derivarmos a função da velocidade resultada na primeira derivada, acharemos diretamente a aceleração. Desta forma, prova-se que a derivada segunda do espaço se dá a aceleração.

Passo 4 (Equipe):

Plotar num gráfico sua função a (m/s²) x t(s) para um intervalo de 0 a 5 segundos e dizer que tipo de função você tem. Calcular a área formada pela função aceleração para o intervalo dado acima e comparar o resultado obtido com o cálculo da variação de velocidade realizado no passo 2, subitem 2.1 e fazer uma análise a esse respeito.

Elaborar um relatório com os resultados obtidos de todos os passos realizados nessa etapa 1 para entregar ao professor.

Adotando a formula ( ), a velocidade do passo anterior, e supondo um corpo partindo do repouso temos:

a t

0 0

14 1

14 2

14 3

14 4

14 5

Este gráfico nos mostra uma função continua, tendo em vista que no instante 0 (zero) onde o corpo esta em repouso, a aceleração instantânea é 0 (zero), também, mas no instante que saiu do repouso até o primeiro instante (t = 1) o corpo atingiu uma aceleração constante.

Etapa 2

Passo 1 (Aluno):

O que é a Constante de Euler? Trata-se de um número irracional, conhecido como “e”. Foi atribuída a este número a notação “e”, em homenagem ao matemático Suíço Leonhard Euler (1707-1783), visto ter sido ele um dos primeiros a estudar as propriedades desse número. Podemos expressar esse números com 40 dígitos decimais, ou seja: e = 2,718281828459045235360287471352662497757.

Pesquisar mais sobre a constante de Euler e fazer um resumo sobre esse assunto de pelo menos uma página, constando dos dados principais a respeito do assunto e curiosidades. Existem inúmeros sites na internet que trazem informações ricas sobre esse assunto. Abaixo deixamos alguns para que possa ser pesquisado, além do Wikipédia. Construir uma tabela com os cálculos e resultados aplicados na fórmula abaixo, utilizando os seguintes valores para n = {1, 5, 10, 50, 100, 500, 1000, 5000, 10000, 100000, 1000000}, esboçar um gráfico representativo e fazer uma conclusão a respeito.

O que é a Constante de Euler?

A constante Euler foi definida pela primeira vez pelo Matemático Suíço Leonhard Euler no artigo De Progressionibus harmônicos observationes, publicado em 1735. Euler usou a notação C para a constante, e inicialmente calculou seu valor até 6 casas decimais. Em 1761 Euler estendeu seus cálculos, publicando um valor com 16 casas decimais.

Em 1790 o matemático italiano Lorenzo Mascheroni introduziu a notação γ para a constante, e tentou estender o cálculo de Euler ainda mais, a 32 casas decimais, apesar de cálculos subsequentes terem mostrado que ele cometera erros na 20°, 22° e 32 casas decimais. (Do 20° dígito, Mascheroni calculou 1811209008239.) (Wikipédia, 24/03/2012).