ATPS: O processo de cálculo da integral de uma função

INTEGRAL

No cálculo, a integral de uma função foi criada originalmente para determinar a área sob uma curva no plano cartesiano.

E também surge naturalmente em dezenas de problemas de Física, como por exemplo na determinação da posição em todos os instantes de um objeto, se for conhecida a sua velocidade instantânea em todos os instantes.

O processo de se calcular a integral de uma função é chamado de integração.

Diferentemente da noção associada de derivação, existem várias definições para a integração, todas elas visando a resolver alguns problemas conceituais relacionados a limites, continuidade e existência de certos processos utilizados na definição. Estas definições diferem porque existem funções que podem ser integradas segundo alguma definição, mas não podem segundo outra.

Integrais indefinidas

f(x)dx = F(x) + C

A integral indefinida também é conhecida como antiderivada.

O processo de encontrar antiderivadas pode ser chamado de:

ANTIDERIVAÇÃO;

ANTIFERENCIAÇÃO ou

INTEGRAÇÃO.

Dada uma função g(x), qualquer função f'(x) tal que f'(x) = g(x) é chamada integral indefinida ou antiderivada de f(x).

A constante de integração C sempre acompanha as funções das integrais indefinidas

Integrais definitas

Seja uma função f(x) definida e contínua num intervalo real [a, b]. A integral definida de f(x), de a até b, é um número real, e é indicada pelo símbolo:

onde:

- a é o limite inferior de integração;

- b é o limite superior de integração;

- f(x) é o integrando.

Se representa a área entre o eixo x e a curva f(x), para

Cálculo de Áreas

Se f(x) > 0 para a < x < c e f(x) < 0 para c < x < b, então a área entre f(x) e o eixo x, para a < x < b, é dada por:

A= f(x) + [ -f(x)] d(x)

Se f(x) > g(x), a < x < c, e f(x) < g(x), c < x < b, então a área f e g, a < x < b, é dada por:

A= [f(x) - g(x)] d(x) + [ g(x) - f(x)] d(x)

A integral definida, nos exemplos vistos, representa uma área, o que ocorre em muitos casos, e é uma das formas de se apresentar a integral definida.

De forma geral, para f(x) > 0 , a área limitada por f(x) e o eixo x, a < x < b: é dada por f(x) d(x) , que pode representar a soma das áreas de infinitos