ATPS: Uma equação diferencial (EDO)

Passo 1

Uma equação diferencial (EDO) é uma equação que estabelece uma relação entre a variável independente x, a função buscada y = f(x) e suas derivadas

y′, y′′, : : :, y(n). Um exemplo de equação diferencial ordinária é o seguinte:

O termo ordinária refere-se ao fato de que a função desconhecida y = f(x) depende somente de uma variável. Caso contrário, como veremos mais adiante, é denominada parcial (EDP).

A ordem da equação diferencial é dada pela ordem mais alta da derivada

que aparece na equação. Por exemplo, a ordem da eq. (1) é 2.

De um modo geral, uma equação diferencial ordinária (EDO) de ordem n

pode ser expressa na seguinte forma.

Ou usando a notação estendida:

O grau de uma equação diferencial é o grau da potência da derivada mais alta. Por exemplo,

é uma equação de terceira ordem e segundo grau.

O objetivo central da teoria de equações diferenciais é desenvolver técnicas para resolver equações diferenciais. Quando uma expressão exata analítica

é encontrada para a solução da equação diferencial, dizemos que esta é uma solução exata. Em muitos casos, no entanto, não é possível encontrar uma

solução exata, mas somente aproximada. Neste caso, é possível recorrer ainda às chamadas técnicas numéricas de solução. Neste caso, a solução é apresentada na forma de um gráfico ou tabela.

Etapa 2

Os métodos ou técnicas de integração são muito importantes para a resolução de integrais que aparentemente não possuem uma primitiva elementar. As técnicas mais usuais são a da substituição, por partes e por frações parciais.

Integração por substituição

Considere a seguinte integral:

A substituição consiste simplesmente em aplicar uma mudança de variáveis , onde é uma função qualquer contínua no domínio de integração. Fazendo :

Esta técnica, que é fruto da regra da cadeia para derivadas, é muito útil quando a função a ser integrada pode ser representada como um produto de funções, onde uma é derivada da outra (podendo diferir de uma constante).

Nem sempre a substituição adequada é evidente; muitas vezes é necessário fazer substituições pouco intuitivas (tais como substituição através de funções trigonométricas). Para tal, são necessários prática e alto poder de carteação.

Substituições trigonométricas

As substituições trigonométricas são muito úteis quando encontramos integrais contendo expressões da forma:

Neste caso, as substituições adequadas são:

Integração por partes

Pela regra do produto para derivadas, sabe-se que

, com e deriváveis. Através de manipulações algébricas, e integrando a equação, temos:

, que é a fórmula da integração por partes.

Com um intervalo de integração definido em , com derivadas continuas fica-se com:

Exemplo de aplicação:

A escolha das funções e é arbitrária, ela requer prática e intuição. Depois do exemplo abaixo, algumas regras podem ser feitas para ganhar tempo.

se escolhemos , temos e tem-se , logo :

Por outro lado, se escolhermos temos e tem-se , logo :

De reparar que esta última integral é mais complicada que a anterior.

Etapa 3

São equações de primeira ordem e primeiro grau:

dy/dx=F(x,y) ou Mdx+Ndy=0

em que M =