Análise Dinâmica no Domínio da Frequência

Universidade de Brasília[pic 1]

Pós-graduação em Estruturas e Construção Civil – PECC

Augusto de Souza Pippi

Matrícula: 16/0169062

Análise Dinâmica no Domínio da Frequência

SEMINÁRIO

Profa. Graciela Doz

Brasília – DF

Junho/2017

LISTA DE FIGURAS

Figura 1 – Força periódica arbitrária.        5

Figura 2 – Transformada e transformada inversa de Fourier.        10

Figura 3 – Função  aperiódica discretizada em  pontos.        11[pic 2][pic 3]

Figura 4 – Função  (em linha azul cheia) do Exemplo 1.        13[pic 4]

Figura 5 – Sequência de 4 pontos da transformada de Fourier Discreta.        14

Figura 6 – Sistema massa-mola-amortecer.         17

Figura 7 – Impulso adimensional.         21

Figura 8 – Métodos utilizados para resposta de SDOF.         23

SUMÁRIO

1 Introdução        3

2 Formulação Para as Transformadas de Fourier        5

2.1 Notação complexa da série de Fourier        5

2.2 Transformadas de Fourier        7

2.2.1 Transformadas contínuas        8

2.2.2 Transformadas discretas        10

2.2.3 Transformadas rápidas        15

3 Análise Dinâmica no Domínio da Frequência        16

3.1 Sistemas com um grau de liberdade (SDOF)        17

3.2 Sistemas com múltiplos graus de liberdade (MDOF)        24

4 Conclusões        26

        

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1 Introdução

Análises dinâmicas mais correntes utilizam domínio de respostas sobre o tempo, isto é, a solução fornece a resposta de instante em instante da análise. A resposta através da abordagem no domínio da frequência é obtida apenas no final da análise. Conforme Soriano (2014), o método de análise no domínio do tempo é mais simples que aquele feito domínio da frequência.

Os métodos de análise no domínio do tempo são mais intuitivos e simples, principalmente em caso do denominado amortecimento viscoso. Já a análise através do domínio da frequência é mais elaborada, e a resposta da estrutura só se torna aparente ao final, em obtenção completa da solução. (SORIANO, 2014)

Para análise no domínio da frequência, é feita uma transformação das equações diferenciais do movimento em equações algébricas na variável frequência, através da transformada de Fourier direta. A transformada inversa são as soluções no domínio do tempo. Sendo assim, o básico dessa abordagem é decompor a ação externa em componentes harmônicos, a obtenção das respostas a esses componentes em termos de frequência e a transposição, com superposição, dessas respostas ao domínio do tempo.

Conforme Liu e Bergdahl (1997) a resposta no domínio da frequência é uma ferramenta útil para problemas não-lineares mais simples. Nesse contexto Perotti e Simoncini (2003) comentam que a abordagem de problemas complexos de sistemas linearizados a resposta do domínio da frequência, demonstra uma vantagem em relação a resposta no domínio do tempo. Isso se deve ao fato da grande capacidade desse tipo de resposta de lidar com propriedades mecânicas que dependem da frequência, na qual essa dependência pode ser devido a diferentes causas de natureza física e analítica.

Em estudos dinâmicos mais complexos, problemas não-lineares são muito comuns. Além disso, sistemas assimétricos de segunda ordem, e matrizes complexas são frequentemente encontrados em conceitos de engenharia, como os vistos em modelos de pontes extensas, por exemplo. Para contemplar estudos mais recentes, Liu, Lu e Ji (2016) propuseram um método utilizando o domínio da frequência para obtenção de soluções de sistemas com amortecimento assimétrico utilizando o acoplamento. Isso demonstra que essa abordagem é utilizada para problemas mais desenvolvidos dentro da dinâmica estrutural.

Métodos no domínio do tempo utilizam, normalmente, processos de integração que dependem muito do intervalo de tempo adotado. Segundo Bathe (1982) o intervalo de tempo é o que basicamente define a exatidão e convergência do processo de integração. Assim, para problemas mais complexos, principalmente não-lineares, o intervalo do tempo pode gerar um gasto computacional exagerado. A abordagem no domínio da frequência utiliza a transformada de Fourier como artificio, na qual Ribeiro (1998) comenta que a estabilidade permite intervalos de tempo maiores que os utilizados no domínio do tempo

2 Formulação Para as Transformadas de Fourier

O artifício matemático utilizado na análise dinâmica no domínio da frequência é a transformada de Fourier. Portanto, esse capítulo tem o intuito de apresentar um apanhado geral da formulação das séries de Fourier em notação complexa bem como as premissas básicas para as transformadas de Fourier discretas e contínuas. Uma transformada de Fourier é uma transformada integral que expressa uma função em termos de funções sinusoidais. Assim, ela transforma uma função temporal qualquer em frequências com certas amplitudes.

2.1 Notação complexa da série de Fourier

 Uma força periódica  de excitação com período , como ilustrado na [pic 7][pic 5][pic 6]

Figura 1, pode ser, expressa em termos de funções harmônicas, através da série de Fourier .

Figura 1 – Força periódica arbitrária. (Fonte: Clough e Penzien, 2003)

Sabendo que , na qual, , a força  em séries de Fourier é dada por:[pic 8][pic 9][pic 10]

[pic 11]

(1)

Utilizando a notação de Euler, na qual:

[pic 12]

(2)

E

[pic 13]

(3)

Logo, a equação 1 pode ser reescrita como:

[pic 14] [pic 15]

(4)

Ainda, fazendo:

[pic 16]

(5)

Obtém-se: