Aplicação das EDOS na eng civil

APLICAÇÃO DAS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS NA ENGENHARIA CIVIL

APLICAÇÃO À FLEXÃO DE VIGAS

INTRODUÇÃO

As equações diferencias então presentes em diversos estudos, não só nas engenharias, o que faz o seu estudo de grande importância.

Uma das aplicações da equação diferencial e na mecânica dos sólidos em função das forças que atuam sobre o sólido, vamos incluir as vigas como o corpo sólido, que são estruturas projetadas para suportar e receber cargas por toda sua extensão. Para melhor entendimento faremos uma apresentação priorizando as principais definições e métodos de resolução, para facilitar o entendimento dessa ferramenta de grande importância.

EQUAÇÕES DIFERENCIAIS

Em matemática, uma equação diferencial é uma equação cuja incógnita é uma função que aparece na equação sob a forma das respectivas derivadas. Dada uma variável x, função de uma variável y, a equação diferencial envolve, x, y, derivadas de y e eventualmente também derivadas de x.[ Por exemplo:

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CONCEITOS PRELIMINARES DA MECÂNICA.

FORÇA NORMAL (N)

Força Normal é a componente da força interna que age perpendicularmente à seção transversal. Se for dirigida para fora do corpo, provocando alongamento no sentido da aplicação da força, é chamada de força normal de tração ou solicitação de tração. Se for dirigida para dentro do corpo, provocando encurtamento no sentido de aplicação da força, é chamada de força normal de compressão ou solicitação de compressão;

FORÇA CORTANTE (V)

Força Cortante é componente de força interna que equilibra uma dada seção transversal de barra (ou viga), contida no plano da seção transversal que tende a deslizar uma porção do corpo em relação à outra, provocando corte (deslizamento da seção em seu plano). As tensões desenvolvidas internamente que opõem resistência as forças cortantes são denominadas tensões de cisalhamento ou tensões tangenciais (força por unidade de área). Representadas pela letra grega T (Tau).

MOMENTO FLETOR (M)

O momento fletor representa a soma algébrica dos momentos relativas a seção YX, contidos no eixo da peça, gerados por cargas aplicadas transversalmente ao eixo longitudinal. Produzindo esforço que tende a curvar o eixo longitudinal, provocando tensões normais de tração e compressão na estrutura.

FLEXÃO DAS VIGAS

Vigas geralmente são elementos prismaticos retos e longos.Vigas de aço e de aluminio desempenham um importante papel na enenharia de estruturas e mecanica. Vigas de concreto armado é muito usada na contrução de casas. Na maioria dos casos, as forças são perpendiculares ao eixo da viga. Esse carregamento transversal provoca somente flexão e cisalhamento na viga. Quando as forças não estão em angulo reto com o eixo da vida, eles produzem tambem forças axiais na viga.

O projeto de qualquer elemento estrutural requecer uma investigação nas cargas que atuam em seu interior para a garantia de que o material utilizado possa resistir a um carregamento. Esses efeitos internos podem ser determinados pelo uso do metodo nas seções;

Equações Diferenciais das Curvas de Deflexão.  

Na Engenharia Civil discute-se a flexão de vigas sob a ação de cargas (inclusive seu peso). A Fig. 1 mostra uma viga prismatica que, em geral, é engastada ou bi-apoiada. Admite-se que a viga é homogenea quanto ao material e é formada por fibras longitudinais.

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Figura 1 - Curva de deflexão de uma viga engastada.

Na flexão visualizada as fibras da metade superior são comprimidas e as da metade inferior são tracionadas.  Assim, a viga fica identificada por duas partes separadas por uma superfície neutra cujas fibras não sofrem tração nem compressão. As vigas são estudadas através de seções transversais (ver Fig. 2).  A curva AB é denominada curva elástica. Uma seção é alocada num sistema de eixo cartesiano e assim podemos definir ) (xfy = como a equação da curva elástica em que a ordenada y é denominada de flecha da viga. As especificações para o cálculo ou dimensionamento das vigas, impõem, freqüentemente, limites para as flechas.  Assim é essencial que o calculista saiba determinar as flechas.  Nash (1992)  coloca que "em diversas normas de cálculo de edifícios se estabelece que a flecha máxima, nas vigas, não deve exceder 1/300 de seu vão". Para determinar a curva elástica pode-se usar uma equação diferencial que modela o problema em geral (ver Eq. 1).

 

Considerando a curva de deflexão com mais detalhes.

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Figura 2 – Curva de deflexão de uma viga.

Ângulo de rotação: θ – É o angulo entre o eixo x e a tangente à curva de deflexão. (figura 2b).

θ é positivo no sentido anti-horario.

Ângulo de rotação = Ângulo de inclinação = Ângulo de declive. Ângulo de rotação em m2 = θ+dθ

dθ- Aumento do angulo conforme nos movemos do ponto m1 para o ponto m2. Ângulo entre as tangentes = dθ

ponto de interseção entre as tangentes = O’ (Centro de curvatura). ρ – Raio de curvaruta – Distancia de o’ à curva e é dada pela seguinte expressão.