Aplicações e Importância da Série de Fourier

• Fundamentação Teórica

A Série de Fourier nos permite modelar qualquer sinal periódico arbitrário com uma combinação de senos e cossenos. Um sinal de tempo discreto é frequentemente derivado de um sinal de tempo contínuo, amostrando-se a uma taxa uniforme.

A idéia de representar funções por meio de séries surgiu na Índia por volta do século XIV, período no qual foram concebidas as técnicas precursoras para tratar do que hoje é conhecido como Séries de Potências. Em homenagem a Jean-Baptiste Joseph Fourier (1768-1830), que foi o primeiro a estudar sistematicamente tais séries, passamos a chamá-las Séries de Fourier. (Pupin, 2011)

Fourier começou seu trabalho na Théorie analytique de la chaleur em Grenoble em 1807 e completou-a em Paris em 1822, a contribuição deste a matemática foi ter afirmado que qualquer função (contínua ou descontínua) de uma variável y = f(x) poderia ser representada por uma série da forma: [pic 1]

Conhecida atualmente como série de Fourier:[pic 2]

Forma compacta da série de fourier (Lathi, 2008)[pic 3]

na qual Cn e θn são relacionados com an e bn por[pic 4]

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Série trigonométrica

Fourier mostrou que um sinal periódico x(t) com período T0 pode ser escrito como[pic 5]

Para determinar a série trigonométrica de Fourier de um sinal x(t) é necessário determinar os coeficientes a0, an e bn.[pic 6]

 

[pic 7]

 [pic 8]

As questões mais importantes em séries de Fourier são:

(a) A série de Fourier converge em algum modo ? Simplesmente ? Uniformemente ? Em média ?, etc.

(b) A série de Fourier, se convergir, converge a f ?

(c) O que ocorre se f é contínua ?

(d) Duas funções com mesmos coeficientes de Fourier são iguais? Eis parte das respostas. Se f é Riemann integrável, sua série de Fourier converge em média quadrática a f. A série de Fourier de f, contínua, pode divergir em ‘vários’ pontos. Duas funções integráveis com iguais coeficientes de Fourier são iguais, exceto num conjunto de conteúdo nulo (medida nula). A melhor classe de funções para analisar funções periódicas e Riemann integráveis é a de funções de variação limitada, BV [−π, π]. A teoria apropriada ao estudo geral das séries de Fourier é a da Integração de Lebesgue.

• Aplicações e Importância da Série de Fourier

As séries de Fourier apresentam além das aplicações na resolução de equações diferenciais, as séries de Fourier possuem aplicações em engenharia elétrica, análise de vibrações, processamento de imagens e sinais, física quântica, econometria, entre outras. Na engenharia elétrica, ela é fundamental nas áreas de comunicação, processamentos de sinais e diversas outras áreas, incluindo antenas.

A transformada de Fourier desempenha um papel de grande importância em vários ramos das ciências exatas. As séries de Fourier são um caso particular da transformada de Fourier e são de fundamental importância na engenharia, pois permitem decompor uma função periódica qualquer na soma de um número infinito de funções senoidais com diferentes frequências e amplitudes.