Apts Calculo Numérico

ETAPA 3
Aulas-temas: Solução Numérica de Sistemas de Equações Lineares.
Esta etapa é importante para que você fixe, de forma prática, conceitos introdutórios de sistemas lineares, tais como: a caracterização matemática de um sistema linear; a notação matricial de um sistema linear; classificação de um sistema quanto à solução – compatível ou não compatível.

Passo 1 
1. Ler atentamente os capítulos do livro-texto (FRANCO, Neide M. B. Cálculo Numérico. 1ª ed. São Paulo: Pearson – Prentice Hall, 2007) que descrevem os conceitos introdutórios de sistemas lineares. Pesquisar também em: livros didáticos do Ensino Superior, na Internet e em outras fontes de livre escolha, informações ligadas ao estudo e utilização de sistemas lineares na Engenharia da Computação.
2. Apresentar um caso real de aplicação de sistemas lineares.

Aplicações de sistemas lineares 

São apresentadas três aplicações onde faz-se necessário o uso de sistemas lineares: uma aplicação na engenharia elétrica através de circuitos elétricos, uma na engenharia química no balanceamento de equações e uma aplicação na engenharia civil através de estruturas metálicas. 
• Circuitos Elétricos 

Para tratar de circuitos elétricos faz-senecessário definir: Lei de Ohm, em que a força elétrica é o produto da resistência pela corrente elétrica, descrita pela equação: 
E = R•i

E as Leis de Kirchhoff em que tem-se a Lei dos Nós, onde a soma das correntes que entram em qualquer nó é igual à soma das correntes que saem dele, e a Lei das Malhas, onde a soma das quedas de tensão ao longo de qualquer circuito é igual à tensão total em torno do circuito (fornecida pelas baterias). 
Numericamente, pode-se analisar o caso abaixo onde deseja-se determinar as correntes do circuito elétrico.

• Balanceamento de equações químicas 

Uma equação química balanceada é uma equação algébrica que dá o número relativo de reagentes e produtos na reação e tem o mesmo número de átomos de cada tipo do lado esquerdo e direito. Mantêm reagentes à esquerda e produtos à direita. 
Tem-se que 2H2 + O2 ◊ 2H2O é uma equação balanceada. Duas moléculas de hidrogênio se combinam com uma molécula de oxigênio para formar duas moléculas de água. 
Ainda, 6H2 + 3O2 ◊ 6H2O também é uma equação balanceada. 
• Construção de estruturas metálicas 

Seja um guindaste que deve erguer cargas, assim, pode-se dizer que tem-se um problema de uma estrutura metálica na qual quer-se determinar o esforço mecânico em cada viga da estrutura, de forma que se possa escolher as vigas com a resistência adequada. 
A partir do momento que se conhece a massa a ser suspensa e também o comprimentodo braço deste guindaste, o cálculo das forças que incidem na estrutura torna-se imediato. Para que a estrutura permaneça em equilíbrio o somatório das forças em cada nó, de 1 a 6, deve ser nula tanto na direção horizontal como na direção vertical. Para tanto calcula-se a força exercida por cada viga nos nós, ou seja, calcula-se a força ij f, que significa a força exercida sobre o nó i pela viga que liga o nó i ao nó j.


3. Utilizar o Software Geogebra como uma ferramenta de apoio para a resolução dos desafios propostos no próximo passo. 

Passo 2
Ler o desafio proposto:
Considerar um circuito elétrico representado por:

onde, 1i , 2i e 3i são as correntes e 1 z = 10 , 2 z = 8, e 3 z =3 , as impedâncias pelas quais as correntes passam.
A respeito do sistema linear gerado pelo circuito elétrico, podemos afirmar:

I – o determinante da matriz incompleta A do sistema é 118.




II – a matriz inversa de A, denotada por 





Respostas para as afirmações.
I – o determinante da matriz A é 118, segundo o calculo demonstrado abaixo:
= 64 - 0 + 30 + 24 + 0 + 0 = 118
Det= 118
Portanto a afirmativa I esta certa .
II- a matriz inversa de A não é A-1= , podemos verificar observando a calculo a seguir:
Para verificar deve-se multiplicar a matriz A pela matriz A-1 e o resultado devera ser uma matriz identidade do tipo.
Organizando as matrizes:
A = A matriz A-1 deve ser transformada emfração e igualar seus denominadores para facilitar o calculo:
A-1 = Assim:A = x A-1 = A x A-1 = Portanto a afirmação II esta errada.
III - o sistema é possível e determinado ( sistema compatível ), por que como já vimos na afirmativa I a det A ≠ 0, e possui uma única solução que é i1 = 9,79; i2=4,11; i3 =-13,9, vejamos a solução :1 1 1 0 10 -8 0 65 L 238 0 -3 120 1 1 1 0 x (-8) x(-10)8 0 -3 65
10 -8 0 120 1 1 1 0 0 -8-11 120 ÷ (4)0 -18 10 65 1 1 1 0 0 -2 -2,75 30 x (- 9)0 -18 10 65 1 1 1 0 0 -2 -2,75 30 0 0 14,75 -205 14,75 i3 = - 205 -2.i2 – 2,75. i3= 30 1. i1 + 1.i2 + 1.i3 = 0i3= - 205 -2.i2- 2,75 . (-13,9) = 30 1.i1 + 4,11 - 13,9 = 014,75 i3= -13,9 i2= 30 -38,22 1.i1 = 9,79-2i2= 4,11S= {( 9,79 ; 4,11 ; -13,9)}.
Assim podemos dizer que esta afirmativa esta certa.

Passo 3 (Equipe)
Resolver o desafio proposto no passo 2, julgando as afirmações apresentadas como certa ou errada. Os cálculos realizados para tal julgamento devem ser devidamente registrados e apresentados ao professor ao final desta etapa.

Associar o número 0, se a afirmação I estiver certa. 0
Associar o número 1, se a afirmação I estiver errada. 1
Associar o número 0, se a afirmação II estiver certa. 1
Associar o número 1, se a afirmação II estiver errada. 1
Associar o número 1, se a afirmação III estiver certa. 1
Associar o número 0, se a afirmação III estiver errada. 0
0,1,1

Passo 4 
Entregar ao professor, como cumprimento dessaetapa, um relatório com o nome de
Relatório 3 – Solução Numérica de Sistemas de Equações Lineares – parte 1, com as seguintes informações organizadas:
1. O texto criado à partir da pesquisa realizada no passo 1;
2. Os cálculos realizados para a solução do passo 3 (imprimir arquivo gerado pelo software, caso este tenha sido usado na resolução do desafio proposto);
3. A sequência dos números encontrados, após a associação feita no passo 3.
ETAPA 4
Aulas-temas: Solução Numérica de Sistemas de Equações Lineares.
Esta etapa é importante para que você fixe, de forma prática, métodos numéricos para resolver problemas de sistemas de equações lineares utilizando o Método Exato da Decomposição LU e o Método Exato de Eliminação de Gauss.
Para realizá-la, devem ser seguidos os passos descritos.

Passo 1
1.Ler atentamente os capítulos do livro-texto (FRANCO, Neide M. B. Cálculo Numérico. 1ª ed. São Paulo: Pearson – Prentice Hall, 2007) que descrevem os conceitos de solução de sistemas lineares: método direto (exato) e método interativo. Pesquisar também em: livros didáticos do Ensino Superior, na Internet e em outras fontes de livre escolha, informações ligadas ao estudo e utilização de cada um dos métodos de solução de sistemas lineares.
2. Apresentar casos reais de aplicações dos dois métodos de solução de sistemas de equações lineares: método exato e método interativo.

Métodos exatos e interativosMétodos diretos calculam a solução de um problema em um número finito de passos. Estes métodos resultariam na resposta precisa se eles fossem realizados com precisão infinita. Exemplos incluem a Eliminação Gaussiana, o método de fatoração QR para a resolução de sistemas lineares de equações e o Algoritmo simplex de programação linear. Na prática, é utilizada precisão finita e o resultado é uma aproximação da solução real (assumindo estabilidade).
Em contraste aos métodos diretos, Métodos Iterativos não terminam em um determinado número de passos. Atribuído um valor inicial, métodos iterativos realizam sucessivas aproximações que convergem para a solução exata em seu limite. Um teste de convergência é especificado para decidir quando uma solução suficientemente precisa foi encontrada. Mesmo usando uma precisão infinita, estes métodos (geralmente) não chegariam à solução em um número finito de passos. Exemplos incluem o Método de Newton, Método da Bissecção e a Interação de Jacob. Em matrizes de álgebra computacionais, métodos iterativos são geralmente necessários para problemas complexos.
Métodos iterativos são mais usuais do que métodos diretos em análise numérica. Alguns métodos são diretos em seu princípio, mas são utilizados como se não fossem; e.g Método do resíduo mínimo generalizado e o Método do gradiente conjugado. Para estes métodos o número de passos necessários para se obter a solução exata é tão grandeque a aproximação é a aceita da mesma maneira que no método iterativo.

3. Fazer o download do Software VCN_5p1. Este software servirá de apoio para a resolução do desafio apresentado nesta etapa. 

Passo 2

1. Desafio A



Sobre a decomposição LU, podemos afirmar que:

Resolução :
I – É Falsa.
II – Verdadeira

2. Desafio B
Considerar os sistemas:

Utilizando a eliminação de Gauss e aritmética de ponto flutuante com três
algarismos significativos com arredondamento, podemos afirmar que:
I – a solução do sistema (a) é x1: 0,999999 , x2= -1 e x3= 3 
Afirmação esta correta
II – tanto no sistema (a) quanto no sistema (b), a troca das equações não altera a
solução;
Afirmação esta correta
III – a solução do sistema (b) é x1= -0,4; x2= 2,1; x3= 0,6 e x4= 0,3
Afirmação esta correta
IV – o valor do determinante da matriz A do sistema (b) é -10.
Resolução:
I- Falso, a solução do sistema (a) é x1=1, x2=1 x3=3
II- Falso, os sistemas são possíveis e determinados. Não podendo fazer alterações.
III- Verdadeiro.
IV- Verdadeiro

Passo 3
Resolver os desafios apresentados no passo 2, julgando as afirmações apresentadas como certa ou errada. Os cálculos realizados para tal julgamento devem ser devidamente registrados e apresentados ao professor quando esta etapa for concluída.
Para o desafio A:
Associar o número 0, se a afirmação I estiver certa.
Associar o número 1, se a afirmação Iestiver errada.
Associar o número 0, se a afirmação II estiver certa.
Associar o número 1, se a afirmação II estiver errada.
Resposta: 10

Para o desafio B:
Associar o número 1, se a afirmação I estiver certa.
Associar o número 0, se a afirmação I estiver errada.
Associar o número 0, se a afirmação II estiver certa.
Associar o número 1, se a afirmação II estiver errada.
Associar o número 0, se a afirmação III estiver certa.
Associar o número 1, se a afirmação III estiver errada.
Associar o número 1, se a afirmação IV estiver certa.
Associar o número 0, se a afirmação IV estiver errada.
Resposta: 0101


Passo 4
Entregar ao professor, como cumprimento dessa etapa, um relatório com o nome de
Relatório 4 - Solução Numérica de Sistemas de Equações Lineares – parte 2, com as seguintes informações organizadas:
1. O texto criado a partir da pesquisa realizada no passo 1.
2. Os cálculos realizados utilizando o software de cálculo numérico VCN_5p1 para a solução do passo 3 (imprimir arquivo gerado pelo software).
3. Apresentar o código de barras linear palíndromo completo, já com os últimos dezessete algarismos devidamente colocados. Lembrar que o código de barras linear é palíndromo e o cumprimento correto de todas as etapas, fornecerão apenas os dezessetes primeiros algarismos do código. Os demais números deverão ser logicamente deduzidos pela própria definição de um número palíndromo.

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