As Coordenadas Polares

Coordenadas Polares  

 

Dado um ponto P do plano, utilizando coordenadas cartesianas (retangulares), descrevemos sua localização no plano escrevendo P = (a,b) onde a é a projeção de P no eixo x e b, a projeção no eixo y. Podemos também descrever a localização de P, a partir da distância de P à origem O do sistema, e do ângulo formado pelo eixo x e o segmento OP, caso P≠O. Denotamos P = (r,θ)  onde r é a distância de P a O e θ o ângulo tomado no sentido anti–horário, da parte positiva do eixo Ox ao segmento OP, caso P≠O. Se P = O, denotamos P = (0,θ), para qualquer θ. Esta maneira representar o plano é chamada Sistema de Coordenadas Polares.

[pic 1] 

Exemplos.  

[pic 2]

Coordenadas Coordenadas cartesianas polares [pic 3]

        (1,0)         (1,0)

        (0,2)         (2,π/2)

        (-3,0)         (3,π)

        (0,-3)         (3,3/2)

        (1,1)         ( 2 ,π/4)

        (-2,-2)         2 2 ,3π/4)

 

Para representar pontos em coordenadas polares, necessitamos somente de um ponto O do plano e uma semi–reta com origem em O. Representamos abaixo um ponto P de coordenadas polares (r,θ), tomando o segmento OP com medida r.

[pic 4] 

O ponto fixo O é chamado polo e a semi–reta, eixo polar.  

 

Em coordenadas polares, podemos ter representações diferentes para um mesmo ponto, isto é, podemos ter P = (r,θ) e P = (s, α) sem que r = s e θ = α, ou seja (r,θ) = (s,α) não implica em r = s e θ = α. Assim, (r,θ) não representa um par ordenado, mas sim uma classe de pares ordenados, representando um mesmo ponto.

 

Denotamos um ponto P por (r,–θ), para r e θ positivos, se θ é tomado no sentido horário. Assim, (r,–θ) = (r,2π–θ) e (r,–θ) é o simétrico de (r,θ) em relação à reta suporte do eixo polar.

 

Exemplo. (1,–π/4) = (1, 7π/4)

[pic 5] 

 

Denotamos P por (–r,θ), para r positivo, se P = (r,π + θ), ou seja, consideramos

(–r,θ) = (r,θ+π). Assim, (–r,θ) é o simétrico de (r,θ) em relação ao polo.

[pic 6] 

 

Exemplo. (3,/2) = (–3,3/2)

[pic 7] 

 

Dado um ângulo θ, θ pode ser representado por θ+2kπ, para todo k inteiro. Assim,  

(r,θ) = (r,θ+2π) = (r,θ+4π) = (r,θ – 2π) = (r,θ – 4π) = ...

 

Exemplo. (5,π/2) = (5, π/2 + 10π) = (5, 21π/2)

 

Mudança de coordenadas

         Um ponto P do plano pode ser representado em coordenadas cartesianas por (x,y) ou em coordenadas polares por (r,θ). Para facilidade de comparação entre os dois sistemas, consideramos o ponto O coincidindo com a origem do sistema cartesiano e, a semi-reta, a parte do não negativa do eixo x.

 

1. Mudança de coordenadas polares para coordenadas cartesianas

Seja P um ponto com coordenadas polares (r,θ).  

Se 0 < θ < π/2 e r > 0. No triângulo retângulo OPx a seguir, obtemos as seguintes relações:

[pic 8] 

Se θ = 0 e r > 0, temos P no eixo das abcissas. Logo, P tem coordenadas cartesianas (x,0) e coordenadas polares (x,0) (r = x e θ = 0). Assim, x = x·1 = r cos θ  e y = 0 = r·0 = r sen θ.

Se r = 0, P = (0,θ) para qualquer θ. Aqui também, x = r cos θ  e  y = r sen θ.                  Para os casos onde θ ≥ π/2, fica como exercício mostrar que também vale: x = r cos θ  e  y = r sen θ.

 

1. Mudança de coordenadas cartesianas para coordenadas polares

 

           Seja P um ponto com coordenadas cartesianas (x,y). Como vimos acima,

considerando P com coordenadas (r,θ), temos as relações x = rcosθ e  y = rsenθ 

Como x2+y2 = r2cos2θ+r2sen2θ = r2(cos2θ+sen2θ) = r2×1 = r2, temos que r =  x2 y2 . [pic 9]

Se r = 0, isto é,  x = y = 0 então podemos tomar θ qualquer.

Se r ≠ 0, θ é tal que cosθ = x/r e senθ = y/r.

 

Exemplo. Se P tem coordenadas polares (–2,π/6), então x = –2cos(π/6) e[pic 10]

y = –2sen(π/6). Logo, x = –1 e y = –    3 , portanto, P tem coordenadas cartesianas  

...