As Equações Diferenciais

Equações Diferenciais

Se y é uma função de x, e n é um inteiro positivo, então uma relação de igualdade (que não se reduz a uma identidade) que envolva x, y, y', y'', ...,y(n) é chamada uma equação diferencial de ordem n.

DEFINIÇÃO: Equação diferencial é uma equação que apresenta derivadas ou diferenciais de uma função desconhecida (a incógnita da equação).

CLASSIFICAÇÃO

EQUAÇÃO DIFERENCIAL ORDINÁRIA (EDO): Envolve derivadas de uma função de uma só variável independente.

EQUAÇÃO DIFERENCIAL PARCIAL (EDP): Envolve derivadas parciais de uma função de mais de uma variável independente.

ORDEM: é a ordem da derivada de mais alta ordem da função incógnita que figura na equação.

Exemplos:

y' = 2x

tem ordem 1 e grau 1

y"+x2(y')3 - 40y = 0 tem ordem 2 e grau 3

y"'+x2y3 = x.tanx

tem ordem 3 e grau 3

RESOLUÇÃO

A solução de uma equação diferencial é uma função que não contém derivadas nem diferenciais e que satisfaz a equação dada (ou seja, a função que, substituída na equação dada, a transforma em uma identidade).

Ex: Equação diferencial ordinária: = 3x2 - 4x + 1

dy = (3x2 - 4x + 1) dx

dy = 3 x2dx - 4 xdx + dx + C

y = x3 - 2x2 + x + C (solução geral)

Uma solução particular pode ser obtida da geral através, por exemplo, da condição y(-1) = 3

(condição inicial)

3 = -1 - 2 - 1 + C seta.gif (302 bytes)C = 7 seta.gif (302 bytes) y = x3 - 2x2 + x + 7 (solução particular)

Observação: Em qualquer dos dois casos, a prova pode ser feita derivando a solução e, com isso, voltando à equação dada.

As soluções se classificam em:

Solução geral - apresenta n constantes independentes entre si (n = ordem da EDO). Essas constantes, de acordo com a conveniência, podem ser escritas C, 2C, C2, lnC,

Solução Particular - Obtida da geral, mediante condições dadas (chamadas condições iniciais ou condições de contorno).

EQUAÇÕES LINEARES HOMOGÊNEAS, 2ª ORDEM

FORMA : y'' + a1 y' + a0 y = 0 (a0, a1 constantes)

Ex: y = e.gif (338 bytes)

Então y' = lamina.gif (300 bytes)e.gif (338 bytes) e y'' = e.gif (338 bytes)

Substituindo na equação dada: ou e.gif (338 bytes)() = 0

diferente.gif (293 bytes)0 para todo x, logo devemos ter = 0, que é uma equação do segundo grau na variável lamina.gif (300 bytes), chamada EQUAÇÃO CARACTERÍSTICA.

A solução da equação diferencial linear irá depender da raízes lamina.gif (300 bytes)1 e lamina.gif (300 bytes)2.

lamina.gif (300 bytes)1, lamina.gif (300 bytes)2 números reais e distintos seta.gif (302 bytes) C1 e C2 são soluções particulares da EDO e a solução geral é y = C1b.gif (352 bytes) + C2c.gif (357 bytes)

lamina.gif (300 bytes)1 = lamina.gif (300 bytes)2 = lamina.gif (300 bytes) (números reais e iguais) seta.gif (302 bytes) a solução geral da EDO é y = C1e.gif (338 bytes) + C2xe.gif (338 bytes)

lamina.gif (300 bytes)1 = a + bi, lamina.gif (300 bytes)2 = a - bi (complexos conjugados: a, b reais) seta.gif (302