As Equações Diferenciais

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NOTAS DE AULAS PARA ACOMPANHAR A DISCIPLINA DE CÁLCULO IV

        

Prof ª Drª Fátima Ahmad Rabah Abido

                                                                                                    

Marília

2º Semestre de 2010

EMENTA

• Formas de aplicação das equações diferenciais;
• Classificação das Equações diferenciais quanto à ordem, grau e linearidade;
• Tipos de solução, problemas de valor inicial e de contorno;
• Soluções de equações diferenciais ordinárias de primeira ordem lineares, homogêneas, separáveis e exatas;
• Fator Integrante;
• Equação de Bernoulli;
• Equações diferenciais de 2ª Ordem;
• Equações diferenciais de ordem n com coeficientes constantes; e
• Aplicações.

MÉTODO DE AVALIAÇÃO

*  Atividade (sala de aula) + Parcial  + Regimental = 10 pontos

   

 

DATAS DE PROVAS

Parcial 1:                                              P1:

Parcial 2:                                              P2:  

Substitutiva:                                         Exame:

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

• BRONSON, R. Moderna Introdução às Equações Diferenciais.

• BOYCE, W.E.; DIPRIMA, R.C. Equações Diferenciais Elementares e Problemas de Valores de Contorno.

• EDWARDS, C. H. Jr. e PENNEY, David E. Equações Diferenciais Elementares e Problemas de Valores de Contorno.  

• GUIDORRIZZI, Hamilton Luiz. Um curso de Cálculo (vol. 2).

• ZILL, Dennis G. e CULLEN, Michael R. Equações Diferenciais. (vol 1)

• SWOKOWSKI, Earl  W. Cálculo com Geometria Analítica (vol 2)

• LARSON, Hostetler & Edwards. Cálculo com Geometria Analítica (vol 2).

• STEWART, James. Cálculo (vol 2).

• KREIDER, D.L. e Outros. Equações Diferenciais.

Equações Diferenciais

1. Introdução

Muitas vezes em física, engenharia e outros ramos técnicos, há necessidade de encontrar uma função incógnita. Em muitos casos esta pesquisa leva a uma equação envolvendo derivadas (ou diferenciais) da função incógnita. Tais equações envolvendo derivadas (ou diferenciais) são chamadas equações diferenciais, em que a incógnita não é um número, mas uma função. 

Antes de iniciar nosso curso, vamos mostrar algumas aplicações para servir de motivação.

Lei de Resfriamento de Newton

A lei de resfriamento de Newton diz que a taxa de variação de temperatura T(t) de um corpo em resfriamento é proporcional à diferença entre a temperatura do corpo e a temperatura cte Tm do meio ambiente, isto é:

dT/ dt = k(T – Tm) ,

em que k é uma cte de proporcionalidade.

Exemplo Um ovo duro, a 98º C, é colocado em uma pia contendo água a 18º C. Depois de 5 minutos, a temperatura do ovo é de 38º C. Suponha que durante o experimento a temperatura da água não aumente apreciavelmente, quanto tempo a mais será necessário para que o ovo atinja 20º C?

Solução :

Tm = 18º C

T(0) = 98º C

T(5) = 38º C

t = ? qdo T (t) = 20º C

         dT/dt = k(T – Tm)

dT/dt = k(T – 18)

dT/(T – 18)= kdt

Resolvendo essa equação diferencial, obtemos t ≅ 13 minutos

Circuitos em Série

         

        Em um circuito em série contendo somente um resistor e um indutor, a segunda lei de Kirchhoff diz que a soma da queda de tensão no indutor (L(dI/dt)) e da queda de tensão no resistor (I.R) é igual à voltagem (E(t)) no circuito, ou seja

L(dI/dt) + R.I = E(t),

em que L e R são ctes conhecidas como a induntância e a resistência, respectivamente.

Exemplo Suponha que um circuito simples a resistência é 550 Ω (ohms), a indutância é de 4 H (henry) e a pilha fornece uma voltagem constante de 110 V (volts). Determine a corrente I se a corrente inicial é zero.

Solução:

E(t) = 110 V; L = 4 H, e R = 550 Ω

I(t) = ?   quando   I (0) = 0

L(dI/dt) + RI = E(t)

4. (dI/dt) + 550.I = 110

dI/dt + (550/4).I= (110/4)

…

      I(t) = 0,2 – 0,2.e-137,5 t.

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Nos próximos tópicos veremos métodos de resolver equações diferenciais. Isto é, veremos as vias pelas quais podemos com sucesso usar equações diferenciais para determinar uma função desconhecida.

Simbolicamente, uma equação diferencial pode ser escrita como:

F(x, y, y’ , y ’’, ... , y (n)) = 0    ou     F(x, y, [pic 2], [pic 3], ..., [pic 4] ) = 0.

Se a função incógnita depende apenas de uma variável, temos uma equação diferencial ordinária. Se depender de mais de uma variável, temos uma equação diferencial parcial.