As Mecânicas dos Fuídos

Mecânica dos Fluidos II

Camada limite laminar

Prof. António Sarmento

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Problema I

Considere um escoamento permanente sobre uma placa plana horizontal com o bordo de ataque em x=0, em que a velocidade não perturbada U é paralela à placa. Verifica-se que em resultado da condição de não-escorregamento o escoamento sofre uma redução de velocidade na proximidade da placa, pelo que as linhas de corrente divergem lentamente da placa com a direcção longitudinal x. A espessura da zona do escoamento em que a velocidade é afectada pela parede (chamada de camada limite – onde ocorrem os efeitos viscosos) varia com a distância x ao início da placa e é designada de espessura da camada limite, sendo habitualmente representada por δ. Fora da camada limite a velocidade é idêntica à velocidade não-perturbada U.

[pic 1]

1. Mostre que o afastamento δ* (designado por espessura de deslocamento – e representado por δd no Fluid Flow) sofrido pelas linhas de corrente exteriores à camada limite (isto é que estão mais afastadas do que δ(x) da parede) é da dado por

[pic 2]

1. Mostre que a força de atrito que actua na placa entre a secção de entrada e uma secção arbitrária a uma distância x do bordo de ataque da placa é dada por

[pic 3]

em que θ, designada por espessura de quantidade de movimento (representada por δm no Fluid Flow), é dada por

[pic 4].

Em resultado desta alínea, como interpreta fisicamente θ?

Considere agora o caso de um escoamento laminar de ar (ρ=1,2 kg/m3, ν=1,5 × 10-5 m2/s) deste tipo, em que a velocidade não perturbada, paralela à placa, é U=10 m/s. Nestas condições a espessura da camada limite varia com a distância x ao início da placa de acordo com

[pic 5],

podendo o perfil de velocidades ser aproximado por

[pic 6] se y≤δ

e

u=U        se y>U

1. Usando o perfil de velocidades apresentado, relacione δ* com δ.
2. Ao fim de que distância do bordo de ataque da placa é que a linha de corrente que dista de 1 mm da placa na região do escoamento não-perturbada entra na camada limite (isto é, dista menos que δ(x) da placa)?

NOTAS

• Relembre que o caudal mássico é calculado através de [pic 7] e que o caudal de quantidade de movimento é dado por [pic 8]
• Relembre que a equação de balanço de massa aplicada a um volume de controlo VC se pode exprimir através de

[pic 9]

em que [pic 10] representa a quantidade de movimento contida no volume de controlo.

• Relembre que a equação de balanço de quantidade de movimento aplicada a um volume de controlo VC se pode exprimir através de

[pic 11]

em que [pic 12] representa a quantidade de movimento contida no volume de controlo e [pic 13] a força que se exerce sobre o volume de controlo.

METODOLOGIA

• Para resolver a alínea a) considere uma linha de corrente afastada de b0 da placa numa secção não perturbada e afastada de b>b0 numa secção x arbitrária. Seguidamente faça um balanço de massa ao VC formado por essa linha de corrente e pela placa e pelas secções transversais no bordo de ataque da placa e na secção x arbitrária. Tenha o cuidado de perceber que o perfil de velocidades é uniforme no bordo de ataque da placa e na secção x fora da camada limite (isto é, para b>y>δ).
• Para resolver a alínea b) faça um balanço de quantidade ao VC considerado na resolução da alínea a). Procure introduzir a definição de espessura de deslocamento na solução encontrada para a força de atrito sobre a placa.
• Para resolver a alínea d) use o resultado das alíneas a) e c) e a lei de crescimento da espessura da camada limite.

Fluid Flow 8.3

Considere um escoamento estacionário e laminar de um fluido incompressível sobre uma placa plana paralela ao escoamento não-perturbado. A placa é porosa e o fluido está a ser aspirado através dela, sendo o caudal de aspiração constante, de tal forma que a espessura da camada limite não varia com a direcção do escoamento e, portanto, [pic 14].

1. Utilizando as equações da camada limite, mostre que

[pic 15],

em que v0 é a velocidade de aspiração na placa (constante segundo x e negativa).

1. Calcule as espessuras de deslocamento e de quantidade de movimento.

(R: -ν/v0 e  -2ν/v0 , note que como v0 é negativo o resultado vem positivo)

1. Calcule a resistência da placa (considere apenas uma das faces da placa e que esta tem um comprimento L). (R: -ρUv0L)

NOTAS

• A camada limite é a região do escoamento onde se fazem sentir efeitos viscosos, isto é, onde [pic 16]. Por definição corresponde à região onde a velocidade do fluido é inferior a 99% da velocidade não-perturbada (ou velocidade exterior) U. Doutra forma é a região 0δ, sendo δ, tal que y(δ)=0,99U, designada por espessura da camada limite. Acima, y representa a distância à placa.
• A camada limite diz-se delgada se δ(x)<<x, em que x é a direcção tangente à placa. Nestas condições as linhas de corrente são quase paralelas à placa e [pic 17].
• As equações da camada limite delgada são:

• Equação da continuidade: [pic 18]
• Equação da quantidade de movimento: [pic 19]

em que pe é a pressão exterior à camada limite.

• Por definição a espessura de deslocamento é [pic 20]. A espessura de deslocamento é também representada por δ*.
• Por definição a espessura de quantidade de movimento é [pic 21]. A espessura de deslocamento é também representada por θ.

METODOLOGIA

• Para resolver a alínea a) simplifique a equação da continuidade e conclua que a velocidade do fluido v é constante e igual a v0 em todo o escoamento; seguidamente simplifique a equação da quantidade de movimento e, depois, integre-a obtendo o perfil de velocidades. Para a integrar utilize o método de separação de variáveis e note que

[pic 22].

Finalmente utilize as condições fronteira apropriadas em y=0 e y=∞.

• Para calcular as espessuras de deslocamento e de quantidade de movimento basta utilizar as definições e o perfil de velocidades deduzido.
• A força de resistência resulta da acção da tensão de atrito na placa. Para a obter é necessário calcular a tensão de corte na parede e integrar ao longo do comprimento da placa.

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Fluid Flow 8.6

Calcule a tensão de corte na placa, a espessura da camada limite e a resistência total num dos lados de uma placa plana de comprimento l, admitindo que a camada limite é laminar em toda a placa, tomando as seguintes aproximações para o perfil de velocidades: i) sinusoidal; ii) parabólico; iii) linear. Compare com os resultados obtidos através da solução exacta de Blasius e conclua. Usando os resultados obtidos para um perfil sinusoidal, calcule os valores numéricos da resistência total e espessura da camada limite no fim da placa para uma placa com 0,3 m de largura e 0,3 m de comprimento imersa num escoamento de água a 20º (ρ=1000 kg/m3, μ=1,13×10-3 Pa.s) se U=7 m/s .

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