Mec Geral

Vetores cartesianos

As operações da álgebra vetorial, quando aplicadas para resolver problemas em três dimensões, são enormemente simplificadas se os vetores forem primeiro representados na forma de um vetor cartesiano.

Sistema de coordenada destro

Dizemos que um sistema de coordenadas retangular é destro desde que o polegar da mão direita aponte na direção positiva do eixo Z, quando os dedos da mão direita estão curvados em relação a esse eixo e direcionados do eixo X positivo para o eixo Y positivo.

Componentes retangulares de um vetor

um vetor A pode ter uma, duas ou três componentes retangulares ao longo dos eixos coordenados x, y, z, dependendo de como o vetor está orientado em relação aos eixos.

Vetores cartesianos unitários

Em três dimensões, os vetores cartesianos unitários i, j, k são usados para designar as direções dos eixos x, y, z, respectivamente. Desses vetores será descrito analiticamente por um sinal positivo ou negativo, dependendo se indicam o sentido positivo ou negativo dos eixos x, y ou z.

Intensidade de um vetor cartesiano

E sempre possível obter a intensidade de um vetor desde que ele seja expresso sob a

forma de um vetor cartesiano. Logo, a intensidade de um vetor A é igual à raiz quadrada positiva da soma dos quadrados de suas componentes.

Direção de um vetor cartesiano

A direção de um vetor A é definida pelos ângulos de direção coordenados a (alfa), B (beta) e y (gama), medidos entre a origem de A e os eixos x, y, Z positivos, desde que sejam localizados na origem de A. Para determinar alfa,beta e gama deve se considerar as projeções de A sobre os eixos x,y,z.

Esses números são conheçidos como os cossenos diretores de A. Uma vez obtidos, os ângulos de direção coordenados alfa,beta e gama são determinados pelo inverso dos cossenos.

Adição de vetores cartesianos

A adição (ou subtração) de dois ou mais vetores é bastante simplificada se os vetores forem expressos em função de suas componentes cartesianas. Por exemplo, se A= A i+ A j+ A k e B= B i+ B j+ B k então o vetor resultante R e tem componentes que representam as somas escalares das componentes i, j, k de A

e B, ou seja,

R = A + B = (A x+ B x)i + (A y + B y)i + (A z + B z)k

Se este conceito for generalizado e aplicado em um sistema de várias forças concorrentes, então a força resultante será o vetor soma de todas as forças do sistema.

vetores posição

a convenção adotada em muitos livros técnicos que exige que o eixo positivo z esteja direcionado

para cima (direção do zênite), de modo que esse seja o sentido para medir a altura de um objeto ou a altitude de um ponto. Assim, os eixos x e y ficam no plano horizontal. Os pontos no espaço estão localizados em relação à origem das coordenadas, O, por meio de medidas sucessivas ao longo dos eixos x, y, z.

um vetor posição r é deflrnido como um vetor fixo que posiciona um ponto no espaço em relação a outro. Por exemplo, se r estende-se da origem de coordenadas, O, parao ponto P (x, y,z).

 

Momento de uma força

Quando uma força é aplicada a um colpo, ela produzira uma tendência de rotação

do corpo em torno de um ponto que não está na linha de ação da força. Essa tendência

de rotação algumas vezes é chamada de torque, mas normalmente é denominada

momento de uma força, ou simplesmente momento. Por exemplo, considere uma

chave usada para desparafusar o parafuso. Se uma força é aplicada

no cabo da chave, ela tenderá a girar o parafuso em torno do ponto O (ou o eixo z).

A intensidade do momento é diretamente proporcional à intensidade de F e à distância

perpendicular ou braço do momento D Quanto maior a força ou quanto mais longo

o braço do momento, maior será o momento ou o efeito de rotação. Se a força F for aplicada em um ângulo 0 + 90 então será mais difícil girar o parafuso. Como resultado, o

Momento de F em relação a O também será zero e nenhuma rotação poderá ocorrer.

O momento M, em relação ao ponto O, ou ainda em relação a um eixo que passa por O perpendicularmente ao plano, é uma quantidade vetorial, uma vez que ele tem intensidade e direção específicas.

lnlensidode

A intensidade de Mo é M+F.D

Onde d é o braço do momento ou distância perpendicular do eixo no ponto o até a

linha de ação da força. As unidades da intensidade do momento consistem da força

vezes a distância, ou seja, N . m ou lb . ft.

Direção

A direção de Mo é definida pelo seu eixo do momento, que é perpendicular ao

plano que contém a força F e seu braço do momento d. A regra da mão direita é

usada para estabelecer o sentido da direção de Mo. De acordo com essa regra, a curva

natural dos dedos da mão direita, quando eles são dobrados em direção à palma,

representa a tendência da rotação causada pelo momento. Quando essa ação é

realizada, o polegar da mão direita dará o sentido direcional de Mo.

O vetor do momento é representado tridimensionalmente por uma seta

curvada em tomo de uma seta. Em duas dimensões, esse vetor é representado apenas

pela seta curvada.

Momento resultante

Para