As Soluções Numéricas de Equações Diferenciais Ordinária – Métodos das Diferenças Finitas

UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESPÍRITO SANTO

CENTRO UNIVERSITÁRIO NORTE DO ESPÍRITO SANTO

DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS MATEMÁTICAS E NATURAIS

CURSO DE ENGENHARIA QUÍMICA

             

Soluções Numéricas de Equações Diferenciais

Ordinária – Métodos das Diferenças Finitas

Trabalho apresentado à disciplina de Cálculo Numérico, sob a supervisão do Professo Sérgio Souza Bento

São Mateus

2014

OBJETIVO

Neste trabalho é apresentado o Método das Diferenças Finitas para a discretização de equações diferencias para problemas de valores de contorno.

Esse método gera um sistema linear que é proporcional a precisão desejada, e isso pode acarretar em um sistema de ordem elevada, por isso faz-se necessário a utilização de métodos computacionais a fim de resolver tais sistemas lineares.

São apresentados neste trabalho dois métodos para a resolução de sistemas lineares, um direto, Eliminação de Gauss com Pivoteamento Parcial, e um iterativo, Gauss-Seidel, o objetivo é comparar o resultado entre esses dois métodos para solução do sistema linear.

INTRODUÇÃO

Modelar a natureza para posteriormente quantificá-la é o objetivo de muitos estudiosos. A física é um grande exemplo para isso. Diversos fenômenos são aproximados por fórmulas matemáticas para uma melhor visualização de um possível evento vir a acontecer. Tais fórmulas geralmente não são de difícil compreensão e resolução, cabendo assim a aplicação de métodos matemáticos para sua resolução.

As equações diferenciais são utilizadas para modelar tais fenômenos que envolvem variações ou mudanças (processos). Essas variações ou mudanças ocorrem em função de uma variável independente que normalmente denota o tempo ou o espaço. Essas equações são utilizadas para prever e controlar fenômenos diversos e sua solução é uma função.

Uma solução de uma equação diferencial ordinária é uma função da variável independente que satisfaça a equação. Assim,

i) [pic 1]  tem y(x) = aex, a ∈ ℜ como solução

ii) u´´´ = 0  é satisfeita para u(x) = p2(x), onde p2(x) é qualquer polinômio de grau 2.

Uma equação diferencial possui uma família de soluções e não apenas uma. A figura a seguir mostra uma família de soluções para [pic 2] e de [pic 3].[pic 4]

Como uma equação diferencial não possui solução única, para individualizar uma solução é preciso impor condições suplementares. Em geral, uma equação de ordem m requer m condições adicionais a fim de ter uma única solução.

Se, dada uma equação de ordem m, a função, assim como suas derivadas até ordem m –1, são especificadas em um mesmo ponto, então se tem um problema de valor inicial, PVI.

Se, em problemas envolvendo equações diferenciais ordinárias de ordem m, m ≥ 2, as m condições fornecidas para busca de solução única  não são todas dadas num mesmo ponto, então é necessário um problema de valor de contorno, PVC.

dado o problema:  [pic 5]

constrói-se x1, x2, ..., xn igualmente espaçados, ou seja, h = xi+1 – xi, i = 0, 1, ..., e calcula-se as aproximações yi ≈ y(xi) nestes pontos, usando informações anteriores.

Uma equação diferencial muitas vezes não possui uma solução analítica simples e se faz necessária uma solução numérica para resolver esse tipo de equação. Através de meios computacionais e aplicação de métodos matemáticos é possível encontrar uma solução próxima da analítica.

MÉTODO DAS DIFERENÇAS FINITAS

É um método para obter a solução aproximada do problema de valor de contorno (PVC) a seguir:

[pic 6]

onde [pic 7] é o intervalo que está definida a variável independente do problema, [pic 8], [pic 9], [pic 10], [pic 11], [pic 12], [pic 13] são constantes e [pic 14],   [pic 15], [pic 16] são funções de [pic 17] contínuas no intervalo  [pic 18] satisfazendo com [pic 19] em [pic 20].

Para discretizar o PVC (3.1) utiliza-se o método das diferenças finitas centradas para aproximar as derivadas no interior do domínio, diferenças progressivas no contorno inferior e diferenças regressivas no contorno superior usando uma malha uniforme com N+1 pontos e passo h > 0 satisfazendo a condição de estabilidade:

[pic 21] em [pic 22].

         Assim, no interior da malha a equação [pic 23] tem a seguinte discretização:

[pic 24], com [pic 25].

Ou seja,

[pic 26], com .[pic 27]

Usando as fórmulas progressivas no extremo [pic 28] e regressivas no extremo [pic 29] as condições de contorno em ( 3.1 ) têm as seguintes discretizações:

[pic 30]

O método das diferenças finitas utiliza como base as aproximações do polinômio de Taylor até a o terceiro grau. Assim, y’’ e y’ são aproximadas por funções que dependem de y e do passo h a ser escolhida para a discretização. O resultado da dessa discretização é um sistema linear do tipo Aw = b, onde A é uma matriz tridiagonal, w é o vetor da variável a ser aproximado a y e b é o vetor dos termos independentes.

Com métodos específicos de resolução de sistemas lineares, podemos obter as aproximações de y nos pontos discretizados.