As Varaiveis Aleatórias

Introdução

Variável aleatória é uma função que associa a cada ponto amostral de um Ω, um valor numérico real. Ela pode ser classificada em discreta ou contínua, de acordo com o número de valores que a mesma pode assumir ao representar um resultado de determinado experimento. Variáveis Aleatórias Discretas são aquelas que admitem um número finito de valores ou tem uma quantidade enumerável de valores. Já as Variáveis Aleatórias Contínuas, podem tomar um número infinito de valores, e esses valores podem ser associados a mensurações em uma escala contínua. Todos esses conceitos também valem para situações de duas, três ou mais variáveis, pois muitas vezes, há o interesse conjunto na descrição probabilística de mais de uma característica numérica de um experimento aleatório.

As informações em um conjunto de dados, sejam elas referentes ao todo ou parte de uma população, quase sempre contêm observações multidimensionais, isto é, observações relacionadas a várias variáveis. Por exemplo, num questionário, aplicado a alunos de uma universidade, podemos obter a idade, o tamanho da família e o número de disciplinas já cursadas, entre outras quantidades que podem ter interesse para cada aluno. Considerando duas variáveis, digamos a idade e o tamanho da família, podemos listar todos os pares que ocorrem. Como pode haver repetição de valores, os resultados podem ser organizados em uma tabela, com os possíveis pares associados às suas respectivas frequências.

Distribuição Conjunta

Suponha que estamos interessados em estudar a composição de famílias com três crianças, quanto ao sexo. Definamos:

• X = número de meninos;
• Y = 1, se o primeiro filho for homem;
• Y = 0, se o primeiro filho for mulher;
• Z = número de vezes em que houve variação do sexo entre um nascimento e outro, dentro da mesma família.

Com essas informações, e supondo que as possíveis combinações tenham a mesma probabilidade, obtemos a tabela abaixo:

Tabela 1

Eventos	Probabilidade	X	Y	Z
HHH	1/8	3	1	0
HHM	1/8	2	1	1
HMH	1/8	2	1	2
MHH	1/8	2	0	1
HMM	1/8	1	1	1
MHM	1/8	1	0	2
MMH	1/8	1	0	1
MMM	1/8	0	0	0

Pode-se formar outra tabela que mostra as probabilidades associadas aos pares de valores nas variáveis X e Y. Na tabela a seguir:

p (x, y) = P (X = x, Y = y)

Denota a probabilidade do evento {X = x e Y = y} = {X = x}[pic 1] {Y = y}. Essa tabela é denominada distribuição conjunta de X e Y.

Tabela 2: Distribuição Bidimensional da v.a. X e Y

(x,y)	P(x,y)
(0,0)	1/8
(1,0)	2/8
(1,1)	1/8
(2,0)	1/8
(2,1)	2/8
(3,1)	1/8

A partir da primeira tabela, pode-se construir também as distribuições conjuntas de X e Z, de Y e Z, bem como a distribuição conjunta de X, Y, Z, que segue na tabela abaixo:

Tabela 3: Distribuição conjunta das v.a. X Y e Z

(x,y,z)	P(x,y,z)
(0,0,0)	1/8
(1,0,1)	1/8
(1,0,2)	1/8
(1,1,1)	1/8
(2,0,1)	1/8
(2,1,1)	1/8
(2,1,2)	1/8
(3,1,0)	1/8

Na tabela 3 verifica-se que:

[pic 2]

Vamos demonstrar como fica o esquema tabular apenas para distribuições bidimensionais, nesse caso podemos demonstra-la a partir de tabelas de dupla entrada, para as variáveis X e Y essa tabela poderia ser formada da seguinte forma:

Tabela 4

Y\X	0	1	2	3	p(y)
0 1	1/8 0	2/8 1/8	1/8 2/8	0 1/8	1/2 1/2
p(x)	1/8	3/8	3/8	1/8	1

Observando o caso de duas variáveis (X e Y), a melhor maneira de representar graficamente, seria:

[pic 3]

Distribuições marginais e condicionais