Atividade estruturada Estacio de Teoria das Filas

Atividade Complementar - Simulação e Teoria das Filas

QUESTÕES

1) Suponhamos que as pessoas chegam a uma cabine telefônica a um ritmo médio de 3 minutos e 48 segundos, tentando utilizar o telefone. A duração média de um telefonema é de 3 minutos 12 segundos e segue uma distribuição exponencial. Determine:

Taxa chegada : λ = 15,78 pessoas /hora. // Taxa atendimento : μ = 18,75 pessoas /hora. ρ = λ/μ = 15,79 / 18,75 = 0,84

(i) Qual a probabilidade de uma pessoa chegar à cabine e ter que esperar?

P(n) = (λ/μ)^n. ((μ- λ)/λ)

É não estar vazio) = 1 – P(0)

1 - (1-0,84). (0,84)^0 = 1 – 0,16 = 0,84 ou 84%

(ii) Qual o número médio de pessoas na fila?

NF = λ^2/(μ (μ- λ)) = (15,78)²/ [18,75 (18,75 – 15,78 ) ] => NF = 4,47 pessoas.

(iii) Qual o número médio de pessoas no sistema?

NS = λ/(μ- λ) = 15,78 / 18,75 – 15,78 = 15,78 / 2,97 => NS = 5,3 pessoas.

(iv) Qual o número médio de clientes usando o telefone?

NS – NF = ρ = λ/μ = 0,84 clientes.

(v) Qual o tempo médio de fila?

NF = λ .TF => TF = NF / λ = 4,47 / 15,78 => TF = 0,28h ou 16,8 min.

(vi) Para que taxa de chegadas o tempo médio de espera será de aproximadamente 3 minutos?

TF = λ/(μ (μ – λ) ) => 3 = λ/0,3125(0,3125 – λ) => λ=0,29297/1,9375 = 0,15 =>

λ = 0,15 pessoas/minutos ou λ = 9 pessoas / hora.

(vii) Qual a probabilidade de que existam mais de 5 pessoas na fila?

P(n) = (λ/μ)^n. ((μ- λ)/λ) => P(n>5) = 1 – [ P(0) + P(1) + P(2) + P(3) + P(4) + P(5) ]

ρ = λ/μ = 15,79 / 18,75 = 0,84

P (0) = ( 1 – 0,84)( 0,84 )º = 0,16 ou 16%.P (1) = ( 1 – 0,84)( 0,84 )¹ = 0,1344 ou 13,44%

P (1) = ( 1 – 0,84(( 0,84) ¹ = 0,1344 ou 13,44%

P (2) = ( 1 – 0,84 )( 0,84 )² = 0,1129 ou 11,29%

P (3) = ( 1 – 0,84 )( 0,84 )³ = 0,0948 ou 9,48%

P (4) = ( 1 – 0,84 )( 0,84 )4 = 0,0797 ou 7,97%

P (5) = ( 1 -0,84)( 0,84)5 = 0,0669 ou 6,69%

Portanto, P(x >5) = 1 – [ P(0) + P(1) + P(2) + P(3) + P(4) + P(5) ] = 1 – ( 0,16 + 0,1344 + 0,1129 + 0,0948 + 0,0797 + 0,0669 ) = 1 – 0,6487 = 0,3513 => P(x > 5 ) = 0,3513 ou 35,13%

2) Carros chegam a um posto de troca de óleo em média a cada 0,25 horas segundo uma distribuição de Poisson. O tempo para executar a troca de óleo é exponencial com média de 0,20 horas.

Tx. de chegada : λ = 4 carros/hora // Tx. de atendimento : μ = 5 carros/hora

Determine a probabilidade de que existam mais de três carros esperando pelo único mecânico disponível para executar o serviço.

P(n) = (λ/μ)^n. ((μ- λ)/λ) => P( x>3 ) = 1 – [ P(0) + P(1) + P(2) + P(3) ]

ρ = λ/μ = 4 / 5 = 0,8

P (0) = ( 1 – 0,8 )( 0,80 )º = 0,2 ou 2%

P (1) = ( 1 – 0,8 )( 0,8 )¹ = 0,16 ou 16%

P (2) = ( 1 – 0,8 )( 0,8)² = 0,128 ou 12,8%

P (3) = ( 1 – 0,8)( 0,8)³ = 0,1024 ou 10,24%

Portanto , P( x>3 ) = 1 – [ P(0) + P(1) + P(2) + P(3) ] = 1 – ( 0,2 + 0,16 + 0,128 + 0,1024 ) = 1 – 0,5904 = 0,4096 => P ( x > 3 ) = 0,4096 ou 40,96%

Qual a probabilidade de que um cliente tenha que esperar mais de 10 minutos pelo serviço?

P(X ≥ x) = e^(-μx)

x = 10 min = 1/6 h

μ = 1/0,20h = 0,083 carros/minutos.

P(X ≥ 1/6) = e^(-1⁄1,2) = 0,5737 => P (X ≥10 ) = 0,5737 ou 57,37%

(iii) Qual é o a média e o desvio padrão do número de clientes no sistema?

NS = λ/(μ- λ) = 4/(5 - 4) = 4

ρ = λ/μ = 0,8

σ = √ρ/(1- ρ) = 4,47

Media de clientes = 4 ± 4,47

Qual a probabilidade de que um cliente tenha que esperar mais de 10 minutos pelo serviço?

RESPOSTA = A mesma pergunta acima, (II).

3) Imagine que toda a indústria de colas produza apenas 2 colas ( Coca-cola e Pepsi-cola) Se a última compra foi da cola 1 existe 90% de chance da próxima compra ser de cola 1. Se a última compra foi da cola 2 existe 80% de chance da próxima compra ser da cola 2.

0,9 0,1

P1 = 0,2 0,8

0,83 0,17

P2 = 0,34 0,66

0,781 0,219

P3 = 0,438 0,562

Se uma pessoa é consumidora de cola 1, qual é a probabilidade de daqui a 2 compras ela compre cola 2?

RESPOSTA = 17%

Se uma pessoa é consumidora de cola 2, qual é a probabilidade de daqui a 2 compras ela