CALCULO NUMERICO FUNDAMENTOS

C´alculo Num´erico — Fundamentos e Aplica¸c˜oes

Claudio Hirofume Asano

Eduardo Colli

Departamento de Matem´atica Aplicada – IME-USP

9 de dezembro de 2009

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Sum´ario

I Sistemas Lineares 9

1 Exemplos de aplica¸c˜oes de sistemas lineares 11

1.1 Introdu¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.2 Provetas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.3 Petr´oleo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.4 Cores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.5 Interpola¸c˜ao polinomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.6 Outros problemas de determina¸c˜ao de polinˆomios . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.7 Splines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.8 Problemas de contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2 O M´etodo de Escalonamento 21

2.1 O m´etodo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.2 Algarismos significativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.3 O determinante no M´etodo de Escalonamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.4 A desvantagem da Regra de Cramer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.5 Sistemas mal-condicionados e refinamento de solu¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . 31

2.5.1 Sistemas mal-condicionados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.5.2 Matrizes de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.5.3 Refinamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3 M´etodos iterativos 37

3.1 O M´etodo de Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.2 Crit´erio das Linhas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.3 Crit´erio de parada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.4 O M´etodo de Gauss-Seidel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

II Ajuste de Fun¸c˜oes 47

4 Ajuste de fun¸c˜oes 49

4.1 O problema do ajuste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

4.2 Os m´ınimos quadrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

4.3 Parˆametros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

3

4 SUM´ ARIO

4.3.1 Densidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

4.3.2 Caten´aria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

4.3.3 Naftalinas e fun¸c˜oes afins . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

4.3.4 Decaimento exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

4.3.5 Leis de potˆencia e fractais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

4.3.6 Gaussiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

5 Fun¸c˜oes lineares nos parˆametros 59

5.1 Dependˆencia linear dos parˆametros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

5.2 Cont´ınuo vs. discreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

5.3 Um parˆametro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

5.4 Dois parˆametros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

5.5 Ajuste de qualquer fun¸c˜ao linear nos parˆametros . . . . . . . . . . . . . . . . 64

5.6 O caso cont´ınuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

5.7 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

5.7.1 Dinamˆometro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

5.7.2 Cosseno aproximado por um polinˆomio . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

6 Levando a s´erio o produto escalar 71

6.1 Produto escalar e distˆancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

6.2 Existˆencia e unicidade de solu¸c˜oes no ajuste linear . . . . . . . . . . . . . . . 73

6.3 O caso cont´ınuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

6.4 Outros produtos escalares: pesos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

7 Fam´ılias ortogonais 77

7.1 Defini¸c˜oes e exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

7.2 Calculando polinˆomios ortogonais por recorrˆencia . . . . . . . . . . . . . . . . 79

7.3 Um exemplo de aplica¸c˜ao de polinˆomios ortogonais . . . . . . . . . . . . . . . 81

7.4 Exemplo de an´alise harmˆonica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

7.5 Mudan¸ca de vari´aveis: como usar tabelas de fun¸c˜oes ortogonais . . . . . . . . 84

III Equa¸c˜oes e Zeros de Fun¸c˜oes 87

8 Zeros de fun¸c˜oes e o M´etodo da Dicotomia 89

8.1 Introdu¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

8.2 Raiz c´ubica de 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

8.3 P´ara-quedista ou bolinha em queda dentro d’´agua . . . . . . . . . . . . . . . 90

8.4 O cilindro deitado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

8.5 Caten´aria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

8.6 M´etodo da Dicotomia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

9 M´etodos iterativos 99

9.1 Plano geral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99