Calculo 1

Tipos de matriz

Matriz linha

Recebe o nome de matriz linha toda matriz que possui apenas uma linha. O numero de coluna é independente. Por exemplo:

[-3 1 2]1x3

Matriz coluna

Recebe o nome de matriz coluna toda matriz que possui apenas uma coluna. O numero de linha é independente. Por exemplo:

[█(40@20@17@7@62)]5x1

Matriz nula

Recebe o nome de matriz nula toda matriz que independente do número de linhas e colunas todos os seus elementos são iguais a zero. Por exemplo:

[■(0&0@0&0@0&0)]3x2

Podendo ser representado por: 03x2

Matriz quadrada

Matriz quadrada é toda matriz que o numero de colunas é o mesmo que o numero de linhas. Por exemplo:

[■(8&1&8@7&2&5@4&6&0)]3x3

Quando a matriz é quadrada podemos perceber a presença de uma diagonal secundária e uma diagonal principal.

[■(8&1&8@7&2&5@4&6&0)]3x3

Matriz diagonal

Será uma matriz diagonal, toda matriz quadrada que os elementos que não pertencem a diagonal principal sejam iguais a zero. Sendo que os elementos da diagonal principal tenham números escalar.

[■(0&0&0@0&0&0@0&0&0)]3x3 [■(6&0&0@0&5&0@0&0&4)]3x3 [■(-6&0&0@0&-5&0@0&0&-4)]3x3

Diagonal principal Diagonal principal Diagonal principal

Matriz identidade

Para que uma matriz seja matriz identidade ela tem que ser quadrado e os elementos que pertencem a diagonal principal deve ser igual a ‘1’ e o restante dos elementos iguais a zero. Por exemplo:

[■(1&0&0@0&1&0@0&0&1)]

Matriz oposta

Dada uma matriz B, a matriz oposta a ela é –B. Se tivermos uma matriz:

B = [■(2&4@6&8)]2x2

A matriz oposta a ela é:

B = [■(-2&-4@-6&-8)]2x2

Concluímos que, para encontrar a matriz oposta de uma matriz qualquer basta trocar os sinais dos elementos.

Matrizes iguais ou igualdade de matrizes

Dada a matriz A e uma matriz B, as duas poderão ser iguais se somente seus elementos correspondentes forem iguais:

A= [■(2&4@-6&-8)]2x2 B=[■(2&4@-6&-8)]2x2

As matrizes A e B são iguais, pois seus elementos correspondentes são iguais.

Matriz transposta

Matriz At obtida a partir da matriz A trocando-se ordenadamente as linhas por colunas ou as colunas por linhas. Por exemplo:

Se A= [■(2&3&0@-1&-2&1)]2x3 então At =[■(2&-1@3&-2@0&1)]3x2

Desse modo se a matriz A é do tipo mxn, At é do tipo nxm.

Matriz simétrica

Seja A uma matriz quadrada de ordem n, que At =A Então:

A= [■(3&5&6@5&2&4@6&4&8)]uma matriz é simétrica se,e somente se,At =A

Observação: os números que são opostos da diagonal principal são iguais, aij=aij.

Se A é simétrica, então para qualquer escalar K, a matriz K.A também é simétrica;

A matriz B=A+At é simétrica;

A matriz A=A-At é uma matriz ant-simétrica;

A sempre pode ser decomposta como a soma de uma matriz simétrica S com uma matriz ant-simetrica T, isto é, A=S+T, onde:

S=1/(2 )(A+At)

T=1/2(A-At)

Além disso, deve-se notar que qualquer matriz simétrica:

É quadrada,isto é,tem tantas linhas quanto coluna;

A matriz identidade de qualquer ordem;

A matriz A+At, para que qualquer matriz quadrada A.

Adição entre matrizes

Dado as matrizes A e B do tipo m por n,sua soma A+B é a matriz m por n computada adicionando os elementos correspondentes:

(A+B) [i,j] =A [i , j]+B[i , j].

Por exemplo:

[■(1&3&2@1&0&0@1&2&2)]+ [■(0&0&5@7&5&0@2&1&1)]= [■(1+0&3+0&2+5@1+7&0+5&0+0@1+2&2+1&2+1)] = [■(1&3&7@8&5&0@3&3&3)]

Para melhorar a forma de calcular, você pode reescrever a segunda matriz, revertendo seus elementos, onde o elemento (-1) passará para (1) e o elemento (2) passará para (-2) e assim sucessivamente. Após feito isso,além de fazer A-B,você usará A+B.

Lembre-se: Você só pode fazer isso com uma matriz negativa, onde recebe o sinal negativo, por exemplo:em –A+B, o A que poderá ser reescrito.

Multiplicação de matrizes

Multiplicação de duas matrizes é bem definida apenas se o número de colunas da matriz da esquerda é o mesmo número de linhas da direita. Se A é uma matriz m por n e B é uma matriz n por P,então seu produto AB é a matriz m por P(m linhas e P colunas)dada por:5

(AB) [I, j]=A[i,1]B[1,j]+A[i,2]B[2,j]+...+A[i,n]B[n,j] para cada par i e j.

Por exemplo:

[■(1&0&2@-1&3&1)]x[■(3&1@2&1@1&0)]=[■((1x3+0x2+2x1)&(1x1+0x1+2x0)@(-1x3+3x2+1x1)&(-1x1+3x1+1x0) )]=[■(5&1@4&2)]

É importante notar que a multiplicação de matrizes não é comutativa, isto é, existem matrizes