Calculo 2

Introdução

O presente trabalho é sobre o conceito de derivada e de integral, mais concretamente falaremos de conceito de derivada e suas regras, derivada trigonométrica e integral definida e indefinida.

É objetivo de esse trabalho explicar de forma mais simples os conceitos escritos acima e tornar o aprendizado menos complexo como aparenta ser.

Esta organizado em 7 tópicos sendo eles. No tópico 1 conceito de derivada que explica o que uma derivada, tópico 2 que fala das regras do produto e coeficiente, tópico 3 que fala da regra da cadeia que é a mais importante dentro da derivada, tópico 4 que fala de derivada trigonométrica e apresenta uma tabela com as derivadas, tópico 5 que fala o conceito de uma integral, tópico 6 que explica a integral indefinida e por fim o tópico 7 que aborda a integral definida que é usada para encontrar a área interna e externa de funções.

A metodologia utilizada foi a pesquisa bibliográfica, enriquecida com a matéria explicada em sala de aula (PLT- Calculo de uma variável/Deborah Hughes-Hallet).

Conceito de Derivada

O conceito de derivada está intimamente relacionado à taxa de variação instantânea de uma função, o qual está presente no cotidiano das pessoas, através, por exemplo, da determinação da taxa de crescimento de certa população, taxa de crescimento econômico, taxa de redução de mortalidade infantil, enfim a medida desta variação se faz necessária em um determinado momento. Inicialmente vamos ver a definição matemática da derivada de uma função em um ponto:

Definição:

Se uma função f é definida em um intervalo aberto contendo x_0, então a derivada de f em x_0, denotada por f’(x_0), é dada por:

Se este limite existir. x representa uma pequena variação em x, próximo de x_0, ou seja, tornando x=x_0+x (x=x-x_0), a derivada de f em x_0 pode também se expressa por

Interpretação física:

A derivação de uma função f em um ponto x_0 fornece taxa de variação instantânea de f em x_0. Portanto:

Suponha que y seja uma função de x, ou seja, y=f(x). se x variar de um valor x_0 até um valor x_1 representaremos esta variação de x, que também é chamada de incremento de x, por x=x_1-x_0 e a variação de y é dada por y+f(x_1)-f(x_0), o que é ilustrado na figura a seguir:

O quociente das diferenças, dado por , é dito taxa de variação média de y em relação a x, no intervalo [x_0, x_1]. O limite destas taxas médias de variação, quando x tende a 0, é chamado de taxa de variação instantânea de y em relação a x, em x=x_0. Portanto:

Taxa de variação instantânea =

Porém ,

Portanto, a taxa de variação instantânea de uma função em um ponto é dada pelas sua derivada neste ponto.

Exemplo

No decorrer de um experimento, é retirado um liquido em uma superfície plana de plástico se o liquido vertido recobre uma região circular e o raio desta região aumenta uniformemente, qual será a taxa de crescimento da área ocupada pelo líquido, em relação à variação do raio, quando o raio for igual a 5 cm ?

Solução:

A taxa de crescimento da área é a sua taxa de variação. Como a área varia com o raio, seja A(r) =πr² a área de um circulo de raio r. A sua taxa de crescimento será portanto, dada por A’(r).

Considerando um raio r qualquer, teremos:

Quando r=5, então A’(5)=10π, ou seja, a área aumenta 10π cm² para cada cm de aumento no raio, quando o raio mede 5 cm. Em outras palavras, a taxa de crescimento da área é de 10π cm²lr.

Interpretação geométrica:

A derivada de uma função f em um ponto a fornece o coeficiente angular (inclinação) da reta tangente ao gráfico de f no ponto (a, f(a)). Vejamos:

Dada uma curva plana que representa o gráfico de f, se conhecermos um ponto P(a, f(a)), então a equação da reta tangente r à curva em P é dada por y-f(a)=m(x-a), onde m é o coeficiente angular da reta. Portanto, basta que conheçamos o coeficiente angular m da reta e um de seus pontos, para conhecermos a sua equação. Mas como obter m para que r seja tangente à curva em P?

Consideramos um outro ponto arbitrário sobre a curva, Q, cujas coordenadas são (a+x,f(a+x)). A reta que passa por P e Q que é chamada reta secante à curva.

Analisemos agora a variação do coeficiente angular da reta secante fazendo Q se aproximar de P, ou seja, tomando x cada vez menor.

Tudo indica que quando P está próximo de Q, o coeficiente angular Msec da reta secante deve estar próximo do coeficiente angular M da reta r, ou seja, o coeficiente angular Msec tem um limite M quando Q tende para P, que é o coeficiente angular da reta tangente r.

Indicando-se a abcissa do ponto Q por x=a+x (x=x.a) e sabendo-se que a abscissa de P é expressa por a, então, se Q tende a P que x tende a 0, o que é equivalente a x tendendo a a. Assim:

(se este limite existe), é o coeficiente angular da reta tangente r. Porém,

Logo, M=f’(a). ou seja, a derivada de uma função em um ponto, de fato, fornece o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico desta função, neste ponto.

Exemplo:

Se f(x)=x², determine a equação da reta tangente ao gráfico de f, no ponto P(2,4).

Solução:

Portanto, coeficiente angular M da reta tangente, quando x_0=2. É dado por:

Logo, a equação reduzida para a reta tangente no ponto P(2,4) é dada por:

A qual é ilustrada na figura a seguir:

*como podemos notar, o calculo da derivada