Calculo 2

ANHANGUERA EDUCACIONAL

Faculdade Anhanguera de Campinas

Curso Engenharia de Produção / Engenharia Automação e Controle

ATPS – Conceito de Derivada e Regras de Derivação

Professor: Thiago Rincão

Campinas

2014

SUMÁRIO

1. Desafio 3

2. Etapa 1 4

2.1 Passo 1 (Individual) 4

2.1 Passo 2 (Individual) 5

2.2 Passo 3 (equipe) 8

2.3 Passo 4 (equipe) 9

3. Etapa 2 11

3.1 Passo 1 (individual) 11

3.2 Passo 2 (individual) 12

3.3 Passo 3 (equipe) 13

3.4 Passo 4 (equipe) 141. Desafio 3

4. Etapa 4 11

5.1 Passo 1 (individual) 11

5.2 Passo 2 (equipe) 12

5.3 Passo 3 (equipe) 13

5.4 Passo 4 (equipe)................................................................................................14

2.

3. Desafio

A ATPS é uma oportunidade única e importante, em que os desafios aqui propostos

buscam promover em cada aluno o senso de responsabilidade individual e coletivo. Vivemos num mundo globalizado, em que o saber trabalhar em equipe é valorizado. Onde cada um deve com responsabilidade cumprir o papel que lhe cabe, para que toda a equipe consiga vencer os desafios que lhe são impostos. Esses desafios buscam levar ao(s) aluno(s) a uma visão crítica dos conceitos e conhecimentos adquiridos ao longo do semestre de maneira que possam aplicar em situações-problema, situações essas das quais muitas vezes serão vivenciadas por eles, quando estes se tornarem profissionais da área, além da oportunidade de integrar os conteúdos de cálculos a outras disciplinas dentro e fora do campo da engenharia. O estímulo à pesquisa como um dos caminhos para um verdadeiro aprendizado deve estar sempre presente, já que cada um deve caminhar em direção a uma autonomia intelectual. O mercado de trabalho hoje busca profissionais capazes de superar os desafios e que são capazes de utilizar os conhecimentos adquiridos para construir novos.

A produção de um relatório que será dividido em duas partes, sendo que a 1ª parte deve ser composto com as soluções dos desafios propostos nas Etapas 1 e 2 desta ATPS e que deverá ser entregue ao professor de sua disciplina, ao final do 1° bimestre. A 2ª parte desse relatório deve ser composto com as soluções dos desafios propostos das Etapas 3 e 4 desta ATPS e que deverá ser entregue ao professor de sua disciplina, no final do semestre, conforme as datas por ele estabelecidas e que culminará com uma apresentação por parte de sua equipe (com utilização de PowerPoint etc). Essa é uma oportunidade aos alunos de mostrarem os conhecimentos adquiridos por meio das atividades desenvolvidas ao longo do semestre; portanto sejam criativos!

2. Etapa 1

Aula-tema: Conceito de Derivada e Regras de Derivação.

Essa atividade é importante para poder verificar a aplicação da derivada inserida em conceitos básicos da física. A noção intuitiva de movimento, velocidade, aceleração é algo intrínseco a todos, já que é algo natural. No entanto, quando visto sob um olhar crítico científico, pode se observar as leis da física, em que as operações matemáticas e regras de derivação básica estão intimamente ligadas a essas leis.

Para realizá-la, devem ser seguidos os passos descritos.

1.1 Passo 1 (Individual)

Pesquisar o conceito de velocidade instantânea a partir do limite, com ∆t→0.

Comparar a fórmula aplicada na física com a fórmula usada em cálculo e explicar o significado da função v (velocidade instantânea), a partir da função s (espaço), utilizando o conceito da derivada que você aprendeu em cálculo, mostrando que a função velocidade é a derivada da função espaço.Dar um exemplo, mostrando a função velocidade como derivada da função do espaço, utilizando no seu exemplo a aceleração como sendo a somatória do último algarismo que compõe o RA dos alunos integrantes do grupo.

A velocidade instantânea é quando queremos saber qual a velocidade de um determinado objeto em um instante no tempo, fazendo-o tender a 0. Por exemplo: Sabemos que um automóvel está percorrendo uma estrada a uma velocidade média de 10km/h, isso significa que ele percorre uma distância de 10km em 1 hora, mas durante esta 1hora ele irá acelerar, frear, consecutivamente... Então, se quisermos saber a velocidade deste automóvel, em cada instante desta 1 hora, precisará utilizar a velocidade instantânea a partir do limite:

Exemplo com final do RA:

Fernando marinho Ra: 6657418112 weverton de mesquita:Ra:6450231351 Izael gregorio Ra:6463313789 leandro costa:6818470081 Willian Maicon Ra:6658419905.

S=0 t. V0t+At²

2

S-S0= v0.t+At²

2

Derivando:

Ds= V0t¹-¹ +2At²-¹

Dt 2

V= ds= v0+a.t¹

Dt

Exemplo : V=v0+18.t

2.2 Passo 2 (individual)

Montar uma tabela, usando seu exemplo acima, com os cálculos e plote num gráfico as funções S(m) x t(s) e V(m/s) x t(s) para um intervalo entre 0 a 5s, diga que tipo de função você tem e calcular a variação do espaço percorrido e a variação de velocidade para o intervalo dado.

Calcular a área formada pela função da velocidade, para o intervalo dado acima.

Abaixo tabela e gráfico com cálculos de v (m/s) x t (s) para intervalo de 0 a 5s

t(s) m(s) v(m/s) t(s)

0 V0+t V0 0

1 V0+9 V0+18 1

2 V0+36 V0+36 2

3 V0+81 V0+54 3

4 V0+144 V0+72 4

5 V0+225 V0+90 5

Fig. 1 relação tempo velocidade

Área: Delta= b.h

2 area: delta=b.h

2

Delta=5.225

2 delta= 5.90

2

area=562.5 area=225

1.3 Passo 3

Pesquisar sobre a aceleração instantânea de um corpo móvel, que define a aceleração como sendo a derivada da função velocidade.

Explicar o significado da aceleração instantânea a partir da função s (espaço), mostrando que é a aceleração é a derivada segunda.

Utilizar o exemplo do Passo 1 e mostrar quem é a sua aceleração a partir do conceito de derivação aplicada a sua função espaço e função velocidade.

A velocidade média tem esse nome porque um automóvel numa pista de 100 km/h, por exemplo, não anda a 100 km/h exatamente num determinado espaço de tempo, ele varia um pouco. A velocidade demostrada no velocímetro desse automóvel é a velocidade instantânea, onde é encontrado um intervalo de tempo muito pequeno, isto é, o intervalo de tempo tende a zero (∆t→0). Velocidade instantânea é portanto a taxa de variação da posição de um corpo dentro de um intervalo de tempo, (na prática, instantâneo).

Define-se velocidade instantânea ou simplesmente velocidade como sendo: Aceleração média e instantânea da velocidade de um corpo em um dado intervalo de tempo.

Assim como a velocidade, ela apresenta suas interpretações em situações locais

S=s0+v0t+At²

2

S-S0=V0t+At²

2

Ds =v0t¹-¹ t 2At

Dt 2

ds=V0+A.t

dt

D²s= 0+A.t¹-¹ D²s=A

Dt² Dt²

1.4 Passo 4 (equipe)

Plotar num gráfico sua função a(m/s2) x t(s) para um intervalo de 0 a 5 segundos e dizer que tipo de função você tem.

Calcular a área formada pela função aceleração para o intervalo dado acima e comparar o resultado obtido com o cálculo da variação de velocidade realizado no passo 2, subitem 2.1 e fazer uma análise a esse respeito.

Elaborar um relatório com os resultados obtidos de todos os passos realizados nessa etapa 1 para entregar ao professor.

No MUV a aceleração é constante.

Fig. 2 aceleração constante

Calculo da área: a = 220 m²

Relatório da etapa 1:

Através desse trabalho descobrimos que formula de calcular a função de velocidade instantânea em física, e mesmo que derivada da função de tempo em calculo ll.

Fizemos uma demonstração da somatória do último algarismo do RA de cada membro do grupo, montamos uma tabela S(m) x t(s) e V(m/s) x t(s) para um intervalo entre 0 a 5s, essa variação foi a partir de 18, foi a somatória do último número do RA dos membros do grupo. Nesse gráfico fizemos o cálculo da área que é a multiplicação da base x altura que foi 90 x 5 / 2, e a pesquisa sobre o matemático suíço Leonard Euler.

Que por sua vez ficou muito famoso por seu artigo de progressionibus harmonicus observationes, feito em 1735. Euler usou a notação C para a constante, e inicialmente calculou seu valor até 6 casas decimais. em 1761 Euler estendeu seus cálculos, publicando um valor com 16 casas decimais, em 1790 o matemático italiano lorenzo maschereni introduziu a notação y para a constante , e estendeu o cálculo de Euler ainda mais , a 32 casas decimais , apesar de cálculos subsequentes terem mostrado que ele cometera erros na 20° , 22° e 32 casas decimais ( do 20° digito , mascherni 1811209008239 ).

3. Etapa 2

Aula-tema: Conceito de Derivada e Regras de Derivação.

Essa atividade é importante para poder verificar a aplicação da derivada inserida em

situações relacionadas às várias áreas como física, biologia, música etc. Uma observação mais aprofundada sobre o conceito de derivação e um olhar mais amplo sobre a constante de Euler, que é muito usada, mas que muitas vezes assumi um papel oculto dentro do próprio cálculo matemático e que por sua vez está intrinsecamente ligado a vários fenômenos naturais.

Para realizá-la, devem ser seguidos os passos descritos.

3.1 Passo 1 (individual)

O que é a Constante de Euler?

Trata-se de um número irracional, conhecido como “e”. Foi atribuída a este número a notação “e”, em homenagem ao matemático suiço Leonhard Euler (1707-1783), visto ter sido ele um dos primeiros a estudar as propriedades desse número.

Podemos expressar esse número com 40 dígitos decimais, ou seja:

e = 2,718281828459045235360287471352662497757

Pesquisar mais sobre a constante de Euler e fazer um resumo sobre esse assunto de pelo menos uma página, constando dos dados principais a respeito do assunto e curiosidades. Existem inúmeros sites na internet que trazem informações ricas sobre esse assunto. Abaixo deixamos alguns para que possa ser pesquisado, além do Wikipédia.

Construir uma tabela com os cálculos e resultados aplicados na fórmula abaixo, utilizando os seguintes valores para n = {1, 5, 10, 50, 100, 500, 1000, 5000, 10000, 100000, 1000000}, esboçar um gráfico representativo e fazer uma conclusão a respeito.

Euler é um dos maiores matemáticos de todos os tempos. Suíço de língua alemã passou a maior parte de sua vida na Rússia e na Alemanha. Pai de Johann Euler. Euler fez importantes descobertas em campos variados nos cálculos e grafos.

Ele também fez muitas contribuições para a matemática moderna no campo da terminologia e notação, em especial para as análises matemáticas, como a noção de uma função matemática.

Além disso, ficou famoso por seus trabalhos em mecânica, óptica, e astronomia. Euler é considerado um dos mais proeminentes matemáticos do século XVIII. Uma declaração atribuída a Pierre-Simon Laplace manifestada sobre Euler na sua influência sobre a matemática. Sua imagem foi incluída à nota de dez francos suíços e selos postais. O asteróide 2002 Euler foi nomeado em sua homenagem.

Ele também é homenageado pela Igreja Luterana em seu calendário ,em 24 de maio - ele era um devoto cristão.

Em 1741 mudou-se para Alemanha para assumir a posição na academia de Ciências de Berlim. Em 17 anos escreveu 866 obras apesar de já estar cego.

(A constante matemática e (algumas vezes chamada de numero de Euler, homenagem ao matemático suíço Leonhard Euler, ou constante de Napier em homenagem ao matemático escocês John Napier, que introduziu os logaritmos) é a base da função dos logaritmos naturais. Seu valor aproximado é:

e= 2,718281828459045235360287

Tabela:

N | Resultado |

1 | 2 |

5 | 248.832 |

10 | 25.937.446 |

50 | 2.691.588.029 |

100 | 2.704.813.829 |

500 | 2.715.568.521 |

1000 | 2.716.923.932 |

5000 | 271.801.005 |

10000 | 2.718.145.927 |

100000 | 2.718.268.237 |

3.2 Passo 2 (individual)

Pesquisar sobre “séries harmônicas” na música, na matemática e na física e sobre somatória infinita de uma PG. Fazer um relatório resumo com as principais informações sobre o assunto de pelo menos 1 página e explicar como a Constante de Euler se relaciona com série harmônica e com uma PG, mostrando as similaridades e as diferenças

Em física, série harmônica é o conjunto de ondas composto da frequência fundamental e de todos os múltiplos inteiros desta frequência. De forma geral, uma série harmônica é resultado da vibração de algum tipo de oscilador harmônico. Entre estes estão inclusos os pêndulos, corpos rotativos (tais como motores e geradores elétricos) e a maior parte dos corpos produtores de som dos instrumentos musicais. As principais aplicações práticas do estudo das séries harmônicas estão na música e na análise de aspecto eletromagnéticos, tais como ondas de rádio e sistemas de corrente alternada. Em matemática, o termo série harmônica refere-se a uma série infinita. Também podem ser utilizadas outras ferramentas de análise matemática para estudar este fenômeno, tais como as transformadas de Fourier.

A série harmônica é uma série infinita, composta de ondas senoidais com todas as freqüências múltiplas inteiras da freqüência fundamental. Tecnicamente, a frequência fundamental é o primeiro harmônico, no entanto, devido a divergências de nomenclatura, alguns textos apresentam a frequência 2F como sendo o primeiro harmônico.

série harmónica alternada é definida conforme: Esta série é convergente como consequência do teste da série alternada, e seu valor pode ser calculado pela série de Taylor do logaritmo natural. Se definir o enésimo número harmónico tal que então Hn cresce tão rapidamente quanto o logaritmo natural de n. Isto porque a soma é aproximada ao integral cujo valor é ln(n). Mais precisamente, se considerarmos o limite: onde γ é a constante Euler-Mascheroni, pode ser provado que:

1. O único Hn inteiro é H1.

2. A diferença Hm - Hn onde m>n nunca é um inteiro.

Jeffrey Lagarias provou em 2001 que a hipótese de Riemann é equivalente a dizer em que σ(n) é a soma dos divisores positivos de n. A série harmónica generalizada, ou série-p, é (qualquer uma) das séries para p um número real positivo.

3.3 Passo 3 (equipe)

CRESCIMENTO POPULACIONAL

Thomas Malthus em seu trabalho publicado em 1798 “An Essay on the Principle of Population”, apresentou um modelo para descrever a população presente em um determinado ambiente, em função do tempo. Ele considerou N = N(t) como sendo o número de indivíduos em certa população no instante t. Tomando as hipóteses que os nascimentos e as mortes naquele ambiente eram proporcionais à população presente e sendo a variação do tempo conhecida entre os dois períodos, concluiu a seguinte equação para descrever a população presente em um determinado instante t.

, onde temos:

t =0 no instante inicial r = uma constante que varia com a espécie da população No= A população existente/presente no instante inicial. É obvio que o gráfico dessa função depende de r e No. A utilização desse modelo parte do pressuposto de que o meio ambiente tenha pouca ou nenhuma influência sobre a população. Dessa forma, ele serve mais como um indicador do potencial de sobrevivência e de crescimento de cada espécie populacional, do que um modelo que realmente mostra o que ocorre.

Com base nas informações acima, considerar uma colônia de vírus em um determinado ambiente. Um analista de um laboratório ao pesquisar essa população, percebe que ela triplica a cada 8 horas. Dessa forma, utilizando o modelo populacional de Thomas Malthus, quantos vírus haverá na colônia após 48 horas em relação à última contagem?

N(t)=N0.er.t

N(0)=N0.er.0

N(0)=N0

N(8)=3N0

N(8)=N0.er.8

3 N0=N0.e0r.8

3=er.8

L N3= L N.er.8

L N3=R.8 N/e

L,09861=r.8

L,09861=r

8

R=0,1373

N(48)=N0.e0,1373.48

N(48)=N.0.e6,6904

N(48)=N0. 728,07

EM 48 HORAS TEREMOS 728,07 VIRUS. Como se mostra na fig.- 3

3.4 Passo 4 (equipe)

Construir uma tabela e plote um gráfico do crescimento populacional em função do tempo, observando o que ocorre a cada 4 horas. Fazer um relatório com todos os dados solicitados nos quatro passos da Etapa 2, para entregar ao seu professor.

N(t) virus

1 1,1471

4 1,7318

8 2,9999

12 5,1944

16 8,9961

20 15,5801

24 26,9828

28 46,7306

32 80,9312

36 140,1621

40 242,7422

44 420,3972

48 728,072

Fig-3 crescimento vírus e n(t)

Relatório passo 4:

O que é a Constante Trata-se de um número irracional, conhecido como “e”. Foi atribuída a este número a notação “e”, em homenagem ao matemático suiço Leonhard Euler, ele foi um dos primeiros a estudar sobre esse assunto Euler legou à posteridade um número assombroso de trabalhos sobre as mais diversas áreas, da Engenharia à Mecânica, da Óptica à Astronomia, da Música à Matemática ,curvas, séries, cálculo de variações, cálculo infinitesimal, Geometria, Álgebra

“séries harmônicas” na música, na matemática e na física O ouvido humano consegue distinguir diferentes qualidades de som. O que diferencia os sons do piano e da flauta é o timbre de cada instrumento, algo que pode ser definido como a impressão sonora ou o “colorido” particular de cada som. Os timbres, por sua vez, resultam da série harmônica, que pode ser explicada como o conjunto de frequências sonoras que soa em simultaneidade com uma nota principal.Quando ouvimos um som, na realidade escutamos também uma série de outras frequências mais agudas que não conseguimos perceber individualmente, apenas como um conjunto sonoro. Essas frequências secundárias se manifestam na forma de timbre em nossos ouvidos. Um corpo em vibração não produz apenas uma única nota (ou frequência), mas sim um conjunto de várias frequências, que são chamadas de harmônicos. A importância que cada harmônico terá para cada nota de cada instrumento musical é o que definirá o timbre. Num texto anterior (“Música das Esferas”) falamos sobre Pitágoras (570 a.C. - 496 a.C.), o matemático grego que descobriu as relações entre o tamanho de uma corda e a altura da nota por ela produzida. Pitágoras observou que uma corda de 120 cm, que emitia a nota dó 1, por exemplo, quando dividida ao meio, produzia a nota dó 2, ou seja, um som oitava acima. Quando a corda de 120 cm era dividida em três partes, sendo tocada uma dessas partes (de 40 cm), obtinha-se a nota sol 2, ou seja, um som uma quinta acima do dó 2. Prosseguindo nas divisões da corda em quatro, cinco, seis partes, e assim por diante, Pitágoras descobriu relações matemáticas lógicas entre o tamanho das cordas e as alturas das notas. Quanto menores as divisões, mais agudos e dissonantes ficavam os sons secundários com relação à nota original. Pitágoras explicava desse modo, na teoria, a série harmônica.

3. Etapa 4

Aula-tema: Aplicações das Derivadas e Exemplos da Indústria, do Comércio e da

Economia.

Essa atividade é importante para poder verificar a aplicação da derivada inserida em

Situações do cotidiano aplicadas a Indústria, Comércio e Economia. Há uma ideia errônea de

Que o uso da derivada é limitado ao campo da engenharia. Economistas e administradores

Também lançam mão das regras da derivação para análise das funções marginais para

Tomada de decisões.

Para realizá-la, devem ser seguidos os passos descritos. Passo 1 (Aluno)

Construir uma tabela com base nas funções abaixo.

Se ao analisar a situação da empresa “Soy Oil”, sua equipe concluir que a Função Preço e a

Função Custo em relação as quantidades produzidas de 1000 unidades, são dadas

Respectivamente por: e, em que a

Representa a soma dos últimos 3 números dos RAs dos alunos que participam do grupo,

Observando o seguinte arredondamento: caso a soma dê resultado variando entre [1000 e

1500[, utilizar a = 1000; caso a soma dê resultado variando entre [1500 e 2000[, utilizar a =

1500; caso a soma dê resultado variando entre [2000 e 2500], utilizar a = 2000; e assim

Sucessivamente. Construir uma tabela para a função Custo e uma tabela para a função

Receita em milhares de reais em função da quantidade e plotando num mesmo gráfico. Passo 2 (Equipe)

Responder para qual intervalo de quantidades produzidas, tem-se R(q) > C(q)? Para qual

quantidade produzida o Lucro será o máximo? Fazer todas as análises, utilizando a primeira

e a segunda derivada para justificar suas respostas, mostrando os pontos de lucros crescentes

e decrescentes. Passo 3 (Equipe)

Responder qual o significado da Receita Média Marginal? Sendo a função Custo Médio da produção dado por , calcular o custo médio para a produção de 100.000

unidades. É viável essa quantidade a ser produzida para a empresa?

Passo 4 (Equipe)

Organizar todo seu material de acordo com o padrão ABNT e entregar ao seu professor.

Preparar uma apresentação em PowerPoint para que sua equipe possa apresentar os

resultados obtidos, dentro do tempo preestabelecido pelo seu professor, ou qualquer outro

critério por ele definido.

Referências

https://docs.google.com/documentsquisar sobre “séries harmônicas” na música, na matemática e na física e sobre somatória infinita de uma PG acessado em 29/mar/2014

https://docs.google.com/viewer?a=v&pid=explorer&chrome=true&srcid=0B9WATR68YYLONTZlNThiOTAtYmE4YS00NDEzLWJhM2YtYjUzYTU3NjQ5MzMz&hl=pt_BR >. Acesso: em 29 mar. 2014.

https://docs.google.com/leaf?id=0B9WATR68YYLOYjlhMzdiY2UtZWM0ZS00NDU 2LTlhMTItZWZkY2U4YWI5ZDli&hl=pt_BR >. Acesso em: 029 mar. 2014.

https://docs.google.com/leaf?id=0B9WATR68YYLOYjlhMzdiY2UtZWM0ZS00NDU 2LTlhMTItZWZkY2U4YWI5ZDli&hl=pt_BR >. Acesso em: 29 mar. 2014.

https://docs.google.com/viewer?a=v&pid=explorer&chrome=true&srcid=0B9WAT R68YYLOMmJlM2RmNmItOGRiMy00ZWU1LTg4YTctODEzMWJmMDg4MzAy&hl=

pt_BR >. Acesso: 29 mar. 2014