Calculo 2

Introdução

Na física, velocidade relaciona a variação da posição no espaço em relação ao tempo, ou seja, qual a distância percorrida por um corpo num determinado intervalo temporal. É uma grandeza vetorial, possuindo direção, sentido e módulo, esse último chamado de rapidez e de dimensões, sendo medida no SI em metros por segundo (m/s ou ms-1). Em geral, os símbolos da velocidade são v ou , o primeiro para a velocidade escalar e o segundo para o vetor velocidade. A variação da velocidade em relação ao tempo é a aceleração.

Velocidade é um conceito fundamental para a mecânica clássica. Foi a partir desse que os primeiros físicos puderam desenvolver o estudo do movimento dos corpos, tornando-se capazes de descrever trajetórias através de funções matemáticas. Isaac Newton, pai da mecânica clássica, desenvolveu o cálculo diferencial a partir desse estudo. Há dois tipos de movimentos considerados mais simples: o movimento retilíneo uniforme (MRU) e o movimento retilíneo uniformemente variado(MRUV), que são representados por equações lineares e quadráticas respectivamente. Para outros tipos de movimento mais complexos utiliza-se a derivada.

Para estudar os movimentos dos corpos como ocorrem na natureza Newton desenvolveu a derivada, para calcular a velocidade instantânea de um corpo em certo instante é necessário usar limite, medindo-se uma variação infinitesimal de espaço em um intervalo infinitesimal de tempo.

Da definição de derivada:

Com a derivação é possível calcular a velocidade de um objeto a partir do gráfico sxt, ela fornece a inclinação da reta tangente ao ponto na curva correspondente, sendo essa a velocidade instantânea.

A aceleração é a derivada da velocidade com relação ao tempo

1. Velocidade Instantânea

Para ilustrar o conceito de velocidade instantânea, vamos parafrasear uma anedota contada por Richard Feynman, um dos maiores físicos do século passado, em seu livro “The Feynman Lectures in Physics”, que foi adaptada pelo Prof. H. Moysés Nussenzveig em seu livro “Curso de Física Básica”:

Um policial pára o carro de uma loura que andava em alta velocidade e exclama:

Dona, a senhora estava andando a 120 km/h, quando o limite nesta rua é de 60 km/h!

Então a loura responde:

Mas seu guarda, como é que eu podia estar andando a 120 km por hora, quando eu só estou dirigindo faz 20 minutos!?

Daí o Feynman diz no livro dele: “Vamos supor que ao invés do guarda dizer - Então a senhora explique isso ao Detran porque vai receber uma multa! - o guarda resolva dar uma lição de Física para a loura: - O que eu quero dizer é que, se a senhora seguisse em frente nessa velocidade, depois de uma hora teria percorrido 120 km!”

Mas seu guarda, se eu seguisse em frente, eu iria bater nesse prédio aí da frente!

Bem, isso é verdade, mas se a senhora tivesse continuado assim por 1 minuto, teria percorrido 2 Km; se a senhora continuasse por 1 segundo, teria percorrido 33,3 m; e se fosse em frente por 0,1 s, teria percorrido 3,33 m. Desse jeito a senhora poderia perfeitamente ter infringido a lei durante 0,1 segundos!

Mas seu guarda - disse a loura - o limite de velocidade é de 60 Km/h, e não de 1,66 metros em 0,1 segundos!

Então o guarda se sai com essa:

Dá no mesmo, minha senhora. O que importa aqui é a velocidade instantânea!

Para fixar as idéias, considere o seguinte exemplo: suponha que você veja um radar a 100 m de distância quando dirigia seu carro a 100 km/h. Para não ser multado, você precisa passar pelo radar a menos de 50 km/h. Então, imediatamente você pisa nos (medida em metros) e encontra o radar 5,74 segundos depois (na posição zero), como pode ser visto na figura 1.1.

Qual a velocidade do carro no instante t= 5,74 s?

Para calcular a velocidade neste instante, vamos diminuir o intervalo de tempo até que ele seja tão pequeno, que o intervalo se reduz a esse instante.

Vamos começar com o intervalo entre 0 s e 5,74 s, a velocidade média neste intervalo é: v0→5,74=x(5,74)−x(0)5,74−0ms=19,17ms≈69 km/h.

1.1 As posições de um carro que se aproxima de um radar em função do tempo

Vamos agora diminuir para o intervalo de tempo entre os instantes 4,74 s e 5,74 s, a velocidade média neste intervalo é:

Vamos diminuir ainda mais para o intervalo entre 5,73 s e 5,74 s, a velocidade média neste intervalo é:

Vamos diminuir ainda mais para o intervalo entre 5,749 s e 5,74 s, a velocidade média neste intervalo é:

Só para ser chato, vamos diminuir ainda mais para o intervalo entre 5,7399 s e 5,74 s, a velocidade média neste intervalo é:

Você está vendo? Quando estamos no limite em que o intervalo é zero, temos a velocidade instantânea no exato momento em que o seu carro passa pelo radar. Podemos expressar matematicamente esta última frase da seguinte forma:

Esse limite (lim) define a derivada da posição com relação ao tempo, ou seja, a velocidade instantânea num dado instante é a derivada com relação ao tempo da função que descreve a posição da partícula neste dado instante.

Logo, a velocidade instantânea num dado instante t0 é expressa por:

1.2 velocidade instantânea

A expressão dx(t) /dt é a derivada da função posição, denotada por x(t), com relação ao tempo, que denotamos por t.

A velocidade instantânea é igual ao valor limite de velocidades médias (em intervalos de tempo cada vez menores) e a unidade da velocidade instantânea será a mesma da velocidade média: uma unidade de comprimento dividida por uma unidade de tempo. Assim, a velocidade instantânea também pode ser dada em metros por segundo, por exemplo, como a velocidade média.

Pela Eq. (1.2), se soubermos