Calculo Numerico ATPS

ETAPA 1

Relatório 1 – Conceitos e Princípios Gerais de Cálculo Numérico:

1. Texto criado a partir da pesquisa realizada no passo 1:

Com o surgimento do computador na década de 40 que a importância do calculo numérico começou a ser vista. Por meios de processamentos eletrônicos de dados, as técnicas numéricas se tornaram viáveis. O calculo numérico tem como objetivo mostrar um conjunto de ferramentas ou métodos usados para soluções de problemas matemáticos de forma aproximada, principalmente a problemas que não podem ser resolvidos analiticamente.

Problema numérico:

Quando um problema é resolvido por meio de cálculo numérico é denominado (Problema numérico) o problema é considerado numérico, quando os dados de entrada e saída para o problema são conjuntos numéricos, sendo assim uma relação funcional entre os dados de entrada que são as variáveis independentes e os parâmetros do modelo matemático e os dados de saída, que são resultados desejados variáveis dependentes.

Método numérico:

É utilizado para transformar um modelo matemático num problema numérico ou um conjunto de procedimento usados para resolver um problema numérico, o método mais eficiente tende a envolver os aspectos, precisão para os resultados, capacidade do método em conduzir aos resultados desejados (velocidade de convergência) e esforço computacional despendido (tempo de processamento, economia de memória ne cessaria para a resolução.

Algoritmo:

O algoritmo fornece descrição completa de operações bem definidas do conjunto de dados de entrada se transforma em dados de saída. Por operações bem definidas ensedem-se as aritméticas e logicas que um computador pode realizar. Um algoritmo tem sequencias de N passos cada um envolvendo um número finito de operações. Ao fim desses N passos. O algoritmo deve fornecer   valores ao menos “próximos” dos que são procurados.

Interação ou aproximação sucessiva:

Interação significa a repetição de um processo que seria uma das ideias fundamentais do cálculo numérico que podemos chamar, iteração ou aproximação sucessiva. Grande parte dos métodos numéricos é iterativa, um método iterativo se caracteriza por envolver os seguintes elementos constitutivos:

Tentativas inicial:  consiste em uma primeira aproximação para a solução desejada do problema numérico.

Equação de Ocorrência:  Equação por meio da qual, partindo-se da tentativa inicial, são realizadas interações ou as aproximações desejadas.

Teste de parada: é o instrumento por meio do qual o procedimento interativo e finalizado.

Aproximação local

A aproximação local seria outra ideia que frequentemente ocorre no cálculo numérico é de aproximação local de uma função por uma outra, que seja de manuseio mais simples, ou seja, aproximar uma função não linear por uma função linear num determinado intervalo do domínio das funções.

Com os computadores, os métodos de resolução de sistemas de equações lineares precisaram ser adaptados para uma sequência de passos lógica em uma linguagem que os computadores entendem, através de algoritmos. Podemos observar equações lineares em praticamente todas as áreas da física, biologia, engenharia, álgebra linear, ciências sociais, equações inteiras, problemas de otimização e de vários outros problemas.

É importantíssimo o estudo de métodos numéricos para resolução de sistemas de equações lineares, pois vários problemas práticos estão associados a eles.

Sistema linear é basicamente uma situação problema que no dá equações que determinam as variáveis do problema. Matematicamente sistemas lineares são associações de equações lineares. Existem diversas formas de se encontrar a solução de um sistema linear.

 Para a aplicação dos métodos numéricos, existem duas classes de métodos para solução de sistemas lineares, os métodos diretos e os métodos iterativos. Observe nos exemplos a seguir os métodos Decomposição LU e o Método Iterativo de Jacobi.

Decomposição LU

A eliminação de Gauss pode ser usada para decompor uma matriz doscoeficientes [A], em duas matrizes [L] e [U], onde [U] é uma matriz triangular superior (todos os elementos abaixo da diagonal principal são nulos), e [L] é uma matriztriangular inferior. Seja [A] uma matriz quadrada, por exemplo, 3x3,

[pic 1]

Figura 1: Matriz dos coeficientes (A).

Através de passos de eliminação, podemos reduzir a matriz original dos coeficientes, [A], numa matriz [U]:

[pic 2]

Figura 2: Redução da Matriz A para a Matriz U.

O 1º passo na eliminação de Gauss é multiplicar a 1ª linha da matriz [A] pelo fator f21= a21/a11 e subtrair este resultado à 2ª linha de [A], eliminando a 2. Igualmente, multiplica-se a 1ª linha pelo fator f 31= a31/ a11, e subtrai-se este resultado à 3ª linha de modo a eliminar a 31. O passo final (note-se que é uma matriz 3x3) consiste emmultiplicar a 2ª linha pelo fator f32= a’32/a’22, e subtrair à 3ª linha eliminando a’32. A matriz [L] é uma matriz triangular inferior, cujos os elementos da diagonal principal são 1’s e os restantes elementos são os fatores f 21, f 31e f 32