Calculo Numérico

1. Introdução

Apresentaremos no desenvolvimento desta 1º etapa da ATPS de Cálculo Numérico, os Conceitos básicos de Álgebra Linear, que será de extrema importância para um melhor entendimento da disciplina de Cálculo Numérico.

Os Conceitos básicos de Álgebra Linear se resumem nas propriedades das matrizes e no conjunto de vetores da geometria, que utilizam se da adição com propriedades muito semelhantes, são elas comutativa, associativa, além da existência do elemento neutro que é o vetor nulo e do oposto. Podendo também haver multiplicação por um número real. 

2. Conceitos básicos de Álgebra Linear

A maior parte dos conceitos de Cálculo Numérico se encontra nos livros de Álgebra Linear, por isso ter ótimo conhecimento de Álgebra, facilitará a compreensão de Cálculo Numérico. Isto se deve ao fato de que resultados de Álgebra Linear, em geral, e na teoria dos espaços vetoriais, em particular, na análise numérica é muito grande, e cada vez mais com os estudos se justificam as semelhanças.

Os dois grupos semelhantes é o de matrizes reais e vetores, um segmentos orientados e o outro conjunto matrizes reais m x n. Aparentemente não vemos nenhuma semelhança, mas não é bem isto, no conjunto dos vetores a adição é dotada das propriedades comutativa, associativa, além da existência do vetor nulo e do oposto, podendo multiplicar por um número real, tendo as seguintes propriedades: α(u + v) = αu + αv; (α + β)u = αu + βu; (αβ)u = (αβu); 1 • u = u; onde u, v são vetores e α, β são quaisquer escalares.

Também no conjunto de matrizes temos as propriedades comutativas, associativa, admite elemento neutro, matriz nula, e uma matriz oposta para cada matriz, sua propriedades também são: α(A + B) = αA + αB; (α + β)A = αA + βA; (αβ)A = (αβA); 1 • A = A; onde A, B são matrizes e α, β são quaisquer escalares.

As propriedades são basicamente as mesmas o que muda é a representação em um vetores com letras minúsculas e matrizes com letras maiúsculas, são de estruturas muitos semelhantes.

3. Desafio A.

De acordo com os gráficos anteriores, afirmamos que os vetores v1 e v2 apresentados no gráfico (a) são LD (linearmente dependentes). Os vetores v1, v2 e v3, apresentados no gráfico (b) são LI(linearmente independentes). Os vetores do gráfico (c), também são LI (linearmente independentes).

4. Desafio B.

Dados os vetores u = (4,7,-1), e v = (3,10,11) podemos afirmar que u e v são linearmente independentes.

4x+3y=0

7x+10y=0

-x+11y=0

-x+11y=0*(-3) + 4x+3y=0

4x+3y=0*(-2) + 7x+10y=0

7x+10y=0

7x-30y=0

-x+4y=0

7x-30y=08(-1) + 7x+10y=0

-x+4y=0*(7) + 7x-30y=0

7x+10y=0

40y=0