Calculo de conservação de energia através da integral de linha

LISTA 3 – Cálculo Diferencial e Integral III

INTEGRAIS DE LINHA DE CAMPOS VETORIAIS – TEOREMA FUNDAMENTAL DAS

INTEGRAIS DE LINHA – CONSERVAÇÃO DE ENERGIA.

1. Determine se F é ou não um campo vetorial conservativo. Se for, determine uma

função f tal que f=F .

a) F  x, y   3  2xy  i   x2  3y2  j

F é um campo vetorial conservativo; f  x, y   3x  x2y - y3  k

Re sp :

b) F  x, y    x  y  i   x  2 j

Re sp :

F não é um campo vetorial conservativo;

c) F  x, y   2x  3y  i   4y  3x  8 j

Re sp :

F é um campo vetorial conservativo; f  x, y   x2  3xy  2y2  8y  k

d) F  x, y   ex cos  y  i  exsen  y  j

Re sp :

F não é um campo vetorial conservativo;



x

e) F  x, y   ln y  2xy3 i   3x2y2   j

y



Re sp : F é um campo vetorial conservativo; f  x, y   x2y3  x ln y  k





2. Mostre que o campo vetorial F  x, y   1  xy  exy i  x2exy j é conservativo e

calcule

Re sp :





x  cos  t 

dr sobre a curva C : 

, 0t .

C

2



y  2sen  t 

 F  x, y  dr  1

 F  x, y 

C

3. Determine se F é ou não um campo vetorial conservativo. Se for, determine uma

função f tal que f=F .

a) F  x, y, z   y2z3 i  2xyz3 j  3xy2z2k

Re sp :

F é um campo vetorial conservativo; f  x, y, z   xy2z3  k

b) F  x, y, z   y2 i  2xy  e3z  j  3ye3zk

Re sp :

F é um campo vetorial conservativo; f  x, y, z   xy2  ye3z  k

4. Mostre que o campo vetorial F  x, y, z   seny i   x cos y  cos z  j  ysenzk é

x  sen t





conservativo e calcule  F  x, y  dr sobre a curva C : y  t

, 0t .

C

2

z  2t





Re sp :  F dr  1 

C

2

Nos exercícios 5 a 8, resolva as integrais de linha de campo vetorial, do tipo:

C F

dr :

 x + 2y  j , onde C é a semicircunferência superior, começando em

 0, 1 e termina em  2, 1 . Ou seja: C: x = 1 + cos t ; y = 1 + sen t ,

F=y i +

5.

com - π  t  0.



Re sp :

6.

C









com 0  t  1.



C

F

dr  7

F  x, y, z   z i  y j - x k , r  t i  sen t j  cos t k , com 0  t  π. .

Re sp :

8.

dr  2

F  2xz  y2 i  2xy j  x2  3z2 k , onde C : x  t2 ; y  t  1 ; z  2t - 1,

Re sp :

7.

F



C

dr  

 x2 y3 

F 

Re sp :

F



C

F

i - y x j , onde C : x  t2 ; y  - t3, com 0  t  1.

dr  

59

105

Nos exercícios 9 a 16, verifique se o campo vetorial F é conservativo.