Calculo numerico metodo Newton

EXERCÍCIO 2 LISTA2

O mínimo do custo total de operação, é obtido através dos zeros das primeiras derivadas da função f(x) em ordem a cada uma das variáveis.

   f1(x1, x2) = 0            0.01x2 + 0.04x1³ − 0.25 = 0[pic 2][pic 3][pic 4][pic 1]

   f2(x1, x2) = 0            0.01x1 + 0.60x2³ − 0.25 = 0[pic 5]

A matriz Jacobiana do sistema ficará:

[pic 6]

0.12x2¹      0.01

0.01        1.80x2²

Assim,

[pic 7][pic 8]

F(Xo)=  f(2.0, 0.5) =        f1(2.0, 0.5)         0.075

                                        f2(2.0, 0.5)      =  −0.155

E J(Xo), será

[pic 9]

J(2.0, 0.5) =  0.48  0.01

                     0.01  0.45[pic 10]

Agora, encontra-se  o vetor Sk pela fórmula J(Xo).   S1    = - F(Xo)

                                                 S2    

Assim, teremos:[pic 11][pic 12][pic 13][pic 14][pic 15]

0.48 0.01        S1         -      0.075                            S1     =   −0.163502     =   Sk

0.01 0.45        S2     =       −0.155                            S2             0.348078

Assim é possível calcular X¹ pela fórmula: X¹ = Xo + Sk:

X1    =    2.0    +   −0.163502     =      1.836498 [pic 16][pic 17][pic 18][pic 19]

X2          0.5           0.348078              0.848078

Critério de parada:[pic 20]

f(X²) =   f1(1.836498, 0.848078) = 0.006241

  f2 (1.836498, 0.848078) = 0.134346

ll f(X²) ll =  = 0.134491 < 0.2[pic 22][pic 21]

Logo, a solução será X¹ =   1.836498

                                  0.848078

Script

sistema <- function(x) {y <- 0.1+ (0.01*x[1]*x[2]) + (0.15*x[2]^4)+(0.01*x[1]^4)-0.25*(x[1]+x[2]-100)

y

}

#Definindo o chute inicial

xstart <- c(2.0,0.5)

#Substituindo o chute inicial no sistema para encontrar F(x)

fstart <- sistema(xstart)

fstart

#Resolvendo pelo método de Newton, considerando   [pic 23]

nleqslv(xstart,sistema,method = c("Newton"),control=list(ftol=0.2))

#Plotando gráfico

f <- function(x)

curve(f,0,3,col="red",type = "l")

abline(h=0,col="black")

abline(v=0,col="black")