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Exercício Interpolação de Newton - Cálculo Numérico

Por:   •  28/5/2017  •  Trabalho acadêmico  •  376 Palavras (2 Páginas)  •  354 Visualizações

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(5) Sendo y = f(x) uma função dada nos pontos

x

0,15

0,2

0,25

0,3

0,35

0,4

f(x)

0,12

0,16

0,19

0,22

0,25

0,27

Estime:

(5.1) f(0,28), usando um polinômio de grau 2;

(5.2) o erro de truncamento máximo cometido no item (5.1).

Resolução:

(5.1)

        Para desenvolver o exercício utilizou-se a interpolação de Newton, pois no tópico 5.2 foi pedido o erro de truncamento.

        O enunciado solicitou a utilização de um polinômio de grau 2, portanto, foram necessários 3 pontos para a resolução. Os pontos escolhidos foram destacados na tabela 1. Para escolher os pontos levou-se em consideração a valor pedido no enunciado 5.1 onde x = 0,28.

x

0,15

0,2

0,25

0,3

0,35

0,4

f(x)

0,12

0,16

0,19

0,22

0,25

0,27

Tabela 1: Pontos utilizados

        Com o auxílio do Excel, construiu-se a tabela das diferenças divididas (tabela 2) o que possibilitou o encontro dos valores a serem utilizados no polinômio de Newton e também na resolução do item 5.2 nos fornecendo o máximo valor encontrado no cálculo das diferenças divididas.

 

x

Ordem 0

Ordem 1

Ordem 2

Ordem 3

x0

0,15

0,12

 

 

 

 

0,8

 

x1

0,2

0,16

 

-2

 

 

0,6

 

13,33333333

x2

0,25

0,19

0

 

 

0,6

 

0

x3

0,3

0,22

0

 

 

0,6

-13,33333333

x4

0,35

0,25

-2

 

 

0,4

 

x5

0,4

0,27

 

 

 

 Tabela 2: Diferenças divididas

        

O polinômio de Newton de segundo grau para resolução do item 5.1 é dado por:

𝑃2(𝑥) = 𝑑0 + 𝑑1  (𝑥 − 𝑥0 ) + 𝑑2  (𝑥 − 𝑥0 )(𝑥 − 𝑥1 )

Substituindo os valores obtidos na tabela das diferenças divididas encontramos o polinômio interpolante para a resolução do exercício:

𝑃2(𝑥) = 0,16 + 0,6  (𝑥 – 0,2 ) + 0  (𝑥 – 0,2 )(𝑥 – 0,25 )

Para x=0.28 temos:

𝑃2(0.28) = 0,16 + 0,6  (0,28 – 0,2 ) + 0  (0,28 – 0,2 )(0,28 0,25 )

𝑃2(0,28) = 0,208

(5.2)

        Para encontrar o erro de truncamento cometido no item 5.1 utilizou-se a equação a seguir, onde f[𝑥0, 𝑥1, 𝑥2, 𝑥] é máximo valor encontrado nas diferenças divididas.

...

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