Exercício Interpolação de Newton - Cálculo Numérico
Por: Gabriel Teles Candido • 28/5/2017 • Trabalho acadêmico • 376 Palavras (2 Páginas) • 354 Visualizações
(5) Sendo y = f(x) uma função dada nos pontos
x | 0,15 | 0,2 | 0,25 | 0,3 | 0,35 | 0,4 |
f(x) | 0,12 | 0,16 | 0,19 | 0,22 | 0,25 | 0,27 |
Estime:
(5.1) f(0,28), usando um polinômio de grau 2;
(5.2) o erro de truncamento máximo cometido no item (5.1).
Resolução:
(5.1)
Para desenvolver o exercício utilizou-se a interpolação de Newton, pois no tópico 5.2 foi pedido o erro de truncamento.
O enunciado solicitou a utilização de um polinômio de grau 2, portanto, foram necessários 3 pontos para a resolução. Os pontos escolhidos foram destacados na tabela 1. Para escolher os pontos levou-se em consideração a valor pedido no enunciado 5.1 onde x = 0,28.
x | 0,15 | 0,2 | 0,25 | 0,3 | 0,35 | 0,4 |
f(x) | 0,12 | 0,16 | 0,19 | 0,22 | 0,25 | 0,27 |
Tabela 1: Pontos utilizados
Com o auxílio do Excel, construiu-se a tabela das diferenças divididas (tabela 2) o que possibilitou o encontro dos valores a serem utilizados no polinômio de Newton e também na resolução do item 5.2 nos fornecendo o máximo valor encontrado no cálculo das diferenças divididas.
| x | Ordem 0 | Ordem 1 | Ordem 2 | Ordem 3 |
x0 | 0,15 | 0,12 |
| ||
|
|
| 0,8 |
| |
x1 | 0,2 | 0,16 |
| -2 |
|
| 0,6 |
| 13,33333333 | ||
x2 | 0,25 | 0,19 | 0 |
| |
| 0,6 |
| 0 | ||
x3 | 0,3 | 0,22 | 0 |
| |
| 0,6 | -13,33333333 | |||
x4 | 0,35 | 0,25 | -2 |
| |
| 0,4 |
| |||
x5 | 0,4 | 0,27 |
|
|
|
Tabela 2: Diferenças divididas
O polinômio de Newton de segundo grau para resolução do item 5.1 é dado por:
𝑃2(𝑥) = 𝑑0 + 𝑑1 ∗ (𝑥 − 𝑥0 ) + 𝑑2 ∗ (𝑥 − 𝑥0 )(𝑥 − 𝑥1 )
Substituindo os valores obtidos na tabela das diferenças divididas encontramos o polinômio interpolante para a resolução do exercício:
𝑃2(𝑥) = 0,16 + 0,6 ∗ (𝑥 – 0,2 ) + 0 ∗ (𝑥 – 0,2 )(𝑥 – 0,25 )
Para x=0.28 temos:
𝑃2(0.28) = 0,16 + 0,6 ∗ (0,28 – 0,2 ) + 0 ∗ (0,28 – 0,2 )(0,28 – 0,25 )
𝑃2(0,28) = 0,208
(5.2)
Para encontrar o erro de truncamento cometido no item 5.1 utilizou-se a equação a seguir, onde f[𝑥0, 𝑥1, 𝑥2, 𝑥] é máximo valor encontrado nas diferenças divididas.
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