CÁLCULO II: SUBSTITUIÇÃO TRIGONOMÉTRICA

FACULDADE ANHANGUERA DE VOTORANTIM [pic 1]

Avenida Juscelino Kubitschek de Oliveira, 279 Centro,

Votorantim

 

 

 

 

Cálculo II:

                                SUBSTITUIÇÃO TRIGONOMÉTRICA

 

 

Aluno:

Leandro do Carmo Dias 1164459

 

Prof.   Joao Augusto Gali

1. OBJETIVOS  

Compreender e aplicar as técnicas do Cálculo Integral e Aprofundar o conhecimento para ajudar muito na resolução de exercícios de cálculo de integrais que possuem  Integrais pelo método de Substituição trigonométrica

2.introdução

Este método pode ser utilizado para que possamos calcular integrais contem radicais realizado através de substituições envolvendo funções trigonométricas. Estas integrais envolvem as relações                         e estão relacionadas com o triângulo conforme serão apresentadas

 

 

CALCULO 2 : SUBSTITUIÇÃO TRIGONOMÉTRICA

Ela e uma técnica de integração bem utilizada. Tem integrais que podem ser simplificadas pele de substituição trigonométrica para conseguimos calcular essas integrais.                                                                 Podemos nos basear que muito calculo que tem uma identidade trigonométrica muitas vezes conseguimos a substituição dessa função algébrica para funções trigonométricas que pode ser mais fácil fazer a integrada. Está substituição podemos usar para mudar essa integral mais difíceis em integral que pode ser calcular mais direta.  

 Citarei três casos desses tipos de integral.                                                                                                                                            

1 caso

Nesse caso

[pic 2]    dentro da raiz uma constante elevada ao quadrado menos uma variável também elevada ao quadrado

Para esse caso a substituiremos x pelo ângulo. Esta substituição tem que ser  adequada e é fácil de entender analisando o triangulo abaixo.

 [pic 3]

veja e pense esse triangulo retângulo e sua relação trigonométrica que ele está envolvido

ângulo se sen. = Co/ H, para este caso: o ângulo de Sen. = x/a    ou   x = a .ângulo de Sen.

vamos usar x = a ângulo de Sen se o radical estiver no cat. Adj. ao angulo

Ex.. 1

[pic 4]

Substituiremos x = 3 ângulo Sem , por que a definição do seno do ângulo e uma relação entra o cateto oposto e a hipotenusa Seno angulo = x / a este deferencial de X é : DX = 33 Cos (Ѳ) d(Ѳ).

Feita estas substituição

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Ex : Calcular a integral

[pic 6]                                                                                                   

Escreveremos assim

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[pic 9] 

Assim:

[pic 10]

[pic 11]

[pic 12]

Reescreveremos esse reultado obtido em termos de variável original X.

Analizando  esse triangulo, acharemos a relação.

[pic 13]

Assim

[pic 14]

Caso 2

Nesse dentro da raiz uma constante elevada ao quadrado menos uma variável também elevada ao quadrado 

[pic 15] 

Recomenda -se para essa substituição X=a. tangente do angulo em que o a igual a constante que está na raiz, essa constante não é nula e é positiva

Para esta essa substituição tem que ser adequada e é fácil de entender analisando o triangulo abaixo.

[pic 16]

Tangente do angulo = Cateto oposto/Cateto adjacente, para este caso: a tangente do angulo = X/a ou x = a. tangente do angulo

Usa X= a .tangente do ângulo ; assim , na hipotenusa aparecera o radical

Ex: Calcular a integral:

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Ela e uma integral tipo does. Vamos mostrar no triângulo:

[pic 18]

Escreveremos assim:

[pic 19]

[pic 20]

[pic 21]

Aí temos

[pic 22]

[pic 23]

[pic 24]

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Reescrevendo o resultado abaixo utilizando as relações observadas no triângulo em termos da variável X, fazemos:

[pic 26][pic 27]