Cálculo 1 - Resumo Esboço Curvas

4.5 RESUMO DE ESBOÇOS DE CURVAS

A partir das informações que obtivemos ao longo do curso sobre curvas (domínio, imagem, simetria, limites, continuidade, assíntotas, derivadas, tangentes, valores extremos, intervalos de crescimento e decrescimento, concavidade, ponto de inflexão e L`Hôpital), podemos esboçar qualquer curva, revelando os aspectos importantes das mesmas, ao agrupar todas essas informações em um gráfico.

É claro que podemos utilizar as ferramentas gráficas atuais para traçar rapidamente curvas de qualquer natureza, mas saber utilizar a ferramenta de forma a extrair todas as informações nem sempre é fácil. Dependendo da janela retangular que escolhamos, certas informações podem acabar sendo omitidas, por terem valores muito próximos entre sí ou a janela ser grande demais para identificar certas informações, como valores máximos e mínimos.

A partir do roteiro a seguir, conseguiremos todas as informações necessárias para fazer um esboço com os aspectos mais importantes de uma função.

A. Domínio – Determine o domínio de sua função.

B. Interseções com os Eixos – Para acharmos a interseção com o eixo y, calculamos f (0). Para acharmos as interseções com o eixo x, devemos isolar x e fazer y = 0. (Caso a equação seja muito complicada, esta etapa pode ser omitida.)

C. Simetria

i. f (-x) = f (x) para todo x em D – f é uma função par, e sua curva é simétrica em relação ao eixo y. (Ex.: y = x², y = x4, y = |x| e y = cos x).

y = x² y = x4 ­­ y = cos x

ii. f (-x) = -f (x) para todo x em D – f é uma função ímpar, e sua curva é simétrica em relação à origem (giro de 180o em torno da origem). (Ex.: y = x, y = x³, y = x5 e y = sen x).

y = x y = x³ y = sen x

iii. f (x+p) = f (x) para todo x em D, p = constante positiva – f é uma função periódica, e o menor número p é denominado período. (A partir de translação, pode-se esboçar o gráfico por completo) (Ex.: y = tg x, y = sen x).

y = tg x

D. Assíntotas

i. Assíntotas horizontais – Para ou , a reta y = L é uma assíntota horizontal.

ii. Assíntotas verticais – Para ou , a reta x = a é uma assíntota vertical.

iii. Assíntotas oblíquas – Para , a reta y = mx+b é uma assíntota oblíqua, pois a distância vertical entre a curva y = f (x) e a reta y = mx+b tende a 0.

E. Valores Máximos e Mínimos Locais – Primeiro devemos encontrar os pontos críticos de f (valores de c nos quais f’(c) = 0 ou f’(c) não existe). Depois disso, usamos o Teste da Primeira Derivada para algum valor de próximo antes e depois de x. Se f’ mudar de positiva para negativa em um ponto crítico, f(c) será o valor máximo local. Se f’ mudar de negativa para positiva em um ponto crítico, f(c) será o valor mínimo local.

F. Intervalos de Crescimento e Decrescimento – A partir do Teste da Primeira Derivada (f’(x)), podemos encontrar os intervalos nos quais a função é crescente (f’(x) positiva) ou decrescente (f’(x) negativa).

G. Concavidade e Ponto de Inflexão – Primeiro calculamos f’’(x) e depois usamos o Teste da Concavidade. A curva será côncava para cima se f’’(x)>0 e côncava para baixo se f’’(x)<0, e seus pontos de inflexão ocorrerão quando a concavidade mudar de direção.

H. Esboço da Curva – Com as informações obtidas nos itens A a G, façamos o gráfico. Coloque as assíntotas, marque as interseções com os eixos, os pontos de máximo e mínimo e de inflexão. Agora faça a curva passando por esses pontos, subindo ou descendo de acordo com os intervalos encontrados no item E, com a concavidade de acordo com o item G e tendendo às assíntotas.

Vamos agora esboçar o gráfico da equação y = -x³+9x²-15x+2 utilizando o roteiro acima.

A. Domínio -

B. Interseção com os Eixos –

Eixo y

f(0) = -(0)³+9(x)²-15(0)+2

f(0) = 2

- A curva corta o eixo y no ponto (0,2)

Eixo x

-x³+9x²-15x+2=0

Raízes da equação: