Cálculo Proposicional

Cálculo Proposicional

1. PROPOSIÇÃO

Chama-se sentença ou proposição todo o conjunto de palavras ou símbolos que exprimem um pensamento de sentido completo.

Exemplos de proposições:

1. A lua é um satélite da terra.

2. 3 x 5 = 5 x 3

3. Duas retas de um plano são paralelas ou incidentes.

4. Se Pedro estuda, então tem êxito na escola.

5. Vou ao cinema se e somente se conseguir dinheiro.

Na lógica, restringimo-nos a uma classe de proposições, que são as declarativas e que só aceitam dois valores: verdadeiro(V) ou falso (F), um excluindo o outro.

A lógica matemática adota como regras fundamentais os dois seguintes princípios ou axiomas:

( I ) PRINCÍPIO DA NÃO CONTRADIÇÃO: uma proposição não pode ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo.

( II ) PRINCÍPIO DO TERCEIRO EXCLUÍDO: qualquer proposição é verdadeira ou é falsa, não podendo ser nada mais do que isso.

Por exemplo, as proposições de 1 a 5 são verdadeiras, mas as 3 proposições seguintes são falsas:

• Vasco da Gama descobriu o Brasil.

• Dante escreveu os Lusíadas. (Obs: Camões escreveu “Os Lusíadas”).

• ¾ é um número inteiro.

As proposições são geralmente designadas pelas letras latinas minúsculas p, q, r, s... (sem índices ou acentos).

1.1. Valores Lógicos das Proposições

Diz-se que o valor lógico de uma proposição p é verdade quando p é verdadeiro e falsidade quando p é falso. Os valores lógicos verdade e falsidade de uma proposição designam-se abreviadamente pelas letras V e F (ou pelos símbolos 1 e 0, respectivamente).

Assim, o que os princípios da não-contradição e do terceiro excluído afirmam é que:

“Toda proposição pode assumir um, e somente um, dos dois valores: F ou V “.

Exercício 1: dar os valores lógicos das proposições abaixo, isto é, atribua V ou F para cada uma delas.

a) 3+5=8

b) A lua é um satélite da terra.

c) Colombo descobriu o Brasil.

d) Pedro Álvares Cabral descobriu a Colômbia.

e) o número 11 é primo.

f) (8-3)2 = 82 - 32

g) Um número divisível por 2 é par

h) 1 e -1 são raízes da equação x2-1=0

1.2 – Proposições simples e proposições compostas

As proposições podem ser classificadas como simples ou compostas.

A proposição simples é aquela que não contém nenhuma outra proposição como parte integrante de si mesma. São geralmente designadas pelas letras latinas minúsculas p, q, r, s... (sem índices ou acentos).

A proposição composta é formada pela combinação de duas ou mais proposições simples através de um elemento de ligação denominada conectivo. São geralmente designadas pelas letras latinas maiúsculas P, Q, R, S... (sem índices ou acentos). Ex.:

Proposições simples

p : Zenóbio é careca.

q: Pedro é estudante

r: O número 25 é um quadrado perfeito Proposições compostas

P: Zenóbio é careca e Pedro é estudante

Q: Zenóbio é careca ou Pedro é estudante

R: Se Zenóbio é careca, então é feliz

As proposições compostas são também chamadas de fórmulas proposicionais. Constrói-se uma proposição composta a partir de duas ou mais proposições simples e do uso de conectivos.

1.3 – Conectivos

Chamam-se conectivos as palavras usadas para formar proposições compostas a partir de proposições simples.

Ex.:

P : O número 6 é par e o número 8 é o cubo do número 2

Q : O triângulo ABC é retângulo ou o triângulo ABC é isósceles

R : Não está chovendo

S : Se Jorge é engenheiro, então sabe matemática

T : O triângulo ABC é eqüilátero se e somente se é eqüiângulo

Podemos considerar como conectivos usuais da lógica as palavras grifadas, isto é:

E, Ou, Não, Se ... Então..., ... Se e somente se... (sse)

Exercício 2: dentre as proposições abaixo, quais são SIMPLES e quais são COMPOSTAS:

a) O número 3 é maior que o número 5.

b) A terra é um planeta

c) 8*7 = 56

d) 3 + 5 <> 5 + 3

e) Se chover hoje, então a rua ficará molhada.

f) O sol brilha e queima as plantas.

g) Jorge é gaúcho ou é Catarinense.

h) Um triângulo é retângulo se e somente se tem um ângulo reto.

i) Se um triângulo é retângulo, então, dois de seus lados são perpendiculares

1.4 – Tabela-Verdade

Construção das tabelas - verdades: segundo