DEFLESÃO EM VIGAS

DEFLEXÃO EM VIGAS

1. INTRODUÇÃO:

 Quando se projeta um pavimento tipo às vigas são utilizadas para receber as cargas de utilizações transmitidas pelas lajes, peso de paredes e transportá-la até os pilares da edificação. Para cumprir essa função estrutural é preciso que elas sejam preparadas do ponto de vista da Resistência do Material prevista pelo cálculo de tensão e da Rigidez à flexão que pode ser controlada pelo cálculo da deflexão, para atender as exigências de normas.

O desenho abaixo, representa a planta de forma do Pavimento Tipo de uma edificação, com o posicionamento das lajes, vigas e pilares que constitui o arranjo estrutural necessário para sua construção.

[pic 1]

                                          Planta de forma do Pavimento Tipo

As vigas do Pavimento Tipo recebem as cargas provenientes das lajes e as transmite para os pilares. Esse trabalho só será feito com eficiência se as vigas forem preparadas, de modo a atender os critérios de Resistência do Material e Rigidez da viga prevista pelo cálculo de deflexão. Analiticamente, podem-se representar essas exigências pelas seguintes inequações de segurança:

σmáx ≤ σadm  

δmáx ≤ δadm

         

Pelo exposto, para se projetar uma viga é necessário o conhecimento da deflexão máxima que poderá ser obtida pelos processos que serão apresentados nesse curso.  

 

       

1. CONCEITOS FUNDAMENTAIS

1. Linha Elástica

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1. Conceito: é a configuração geométrica de deslocamento vertical dos pontos do eixo longitudinal da viga ( curva AB )
2. Representação geométrica: geometricamente a linha elástica é representada pelo desenho da linha AB
3. Representação analítica: analiticamente a linha elástica é representada por uma função Y = f( x )

1. Deflexão

1. Conceito: é o deslocamento vertical das seções da viga medido a partir do eixo longitudinal.
2. Representação geométrica: geometricamente a deflexão é representada pelo seguimento de reta AA’ de comprimento δ
3. Representação analítica: analiticamente a deflexão é representada pelo valor da função Y = f(X) no ponto considerado.

1. Declividade

1. Conceito: é a rotação das seções transversais da viga em relação a um eixo tangencial a sua seção.
2. Representação geométrica: geometricamente a declividade é representada inclinação da própria seção. ( θ )  
3. Representação analítica: analiticamente é representada pelo coeficiente angular da tangente à linha elástica em qualquer ponto tgθ= dY / dX        

1. Relação Momento / Curvatura

Pode-se demonstrar que a curvatura da curva elástica é diretamente proporcional ao momento fletor e inversamente proporcional ao módulo de rigidez à flexão

[pic 20]

             

1. Curvatura da linha elástica

Quando se passa do ponto m sobre a LE e alcança o ponto n pertencente à mesma linha a inclinação da tangente no ponto m sofre uma variação dθ conforme  Fig 02.  

[pic 21]

Fig 02 – inclinação da curva elástica entre duas seções infinitamente próxima

2.5.1 Conceito: é taxa de variação do ângulo θ com relação á distância ds

        Medida sobre a linha elástica.  

          K=dθ / ds

1. MÉTODO DA EQUAÇÃO DIFERENCIAL DA LINHA ELÁSTICA – EQUAÇÃO DE SEGUNDA ORDEM.

Este processo consiste em elaborar uma equação diferencial de modo que sua solução, a função Y = f( X )  represente a curva elástica.

1. Determinação da Equação.

[pic 22]

Fig. 03 Linha elástica em um trecho de comprimento dx

O comprimento do arco ds medido sobre a LE pode ser calculada pela expressão:

        ds= ρdθ

Onde ρ na Fig. 03 representa o raio de curvatura e dθ ( radiano ) o ângulo central que subtende o arco infinitesimal ds. Assim tem-se:

[pic 23]

 Primeira simplificação. Admitindo que o material segue a lei de Hooke, temos ds≈dx

[pic 24]

A inclinação da tangente a linha elástica no ponto m pode ser calculada pela expressão

[pic 25]        

        

Segunda simplificação. Como a viga trabalho no regime elástico e linear a linha elástica é suave. Dessa forma, temos

[pic 26]

Derivando a expressão acima temos:  

[pic 27][pic 28]

[pic 29][pic 30]

Compatibilização do sinal da curvatura com o sinal do momento fletor.

[pic 31]

Momento fletor positivo produz curvatura negativa e vice versa. Dessa forma, para compatibilizar os sinais introduz na equação diferencial o sinal negativo ( ver equação abaixo).