Definição de Equações Diferenciais
Por: thayava • 21/9/2015 • Projeto de pesquisa • 999 Palavras (4 Páginas) • 232 Visualizações
Equações Diferenciais
Se y é uma função de x, e n é um inteiro positivo, então uma relação de igualdade (que não se reduz a uma identidade) que envolva x, y, y', y'', ...,y(n) é chamada uma equação diferencial de ordem n.
DEFINIÇÃO: Equação diferencial é uma equação que apresenta derivadas ou diferenciais de uma função desconhecida (a incógnita da equação). |
CLASSIFICAÇÃO
- EQUAÇÃO DIFERENCIAL ORDINÁRIA (EDO): Envolve derivadas de uma função de uma só variável independente.
- EQUAÇÃO DIFERENCIAL PARCIAL (EDP): Envolve derivadas parciais de uma função de mais de uma variável independente.
ORDEM: é a ordem da derivada de mais alta ordem da função incógnita que figura na equação.
Exemplos:
y' = 2x | tem ordem 1 e grau 1 |
y"+x2(y')3 - 40y = 0 | tem ordem 2 e grau 3 |
y"'+x2y3 = x.tanx | tem ordem 3 e grau 3 |
RESOLUÇÃO
A solução de uma equação diferencial é uma função que não contém derivadas nem diferenciais e que satisfaz a equação dada (ou seja, a função que, substituída na equação dada, a transforma em uma identidade).
Ex: Equação diferencial ordinária: [pic 1] = 3x2 - 4x + 1
dy = (3x2 - 4x + 1) dx
[pic 2]dy = 3 [pic 3] x2dx - 4 [pic 4]xdx + [pic 5]dx + C
y = x3 - 2x2 + x + C (solução geral)
Uma solução particular pode ser obtida da geral através, por exemplo, da condição y(-1) = 3
(condição inicial)
3 = -1 - 2 - 1 + C [pic 6]C = 7 [pic 7] y = x3 - 2x2 + x + 7 (solução particular)
Observação: Em qualquer dos dois casos, a prova pode ser feita derivando a solução e, com isso, voltando à equação dada.
As soluções se classificam em:
Solução geral - apresenta n constantes independentes entre si (n = ordem da EDO). Essas constantes, de acordo com a conveniência, podem ser escritas C, 2C, C2, lnC,
Solução Particular - Obtida da geral, mediante condições dadas (chamadas condições iniciais ou condições de contorno).
EQUAÇÕES LINEARES HOMOGÊNEAS, 2ª ORDEM
FORMA : y'' + a1 y' + a0 y = 0 (a0, a1 constantes)
Ex: y = [pic 8]
Então y' = [pic 9][pic 10] e y'' = [pic 11][pic 12]
Substituindo na equação dada: [pic 13] ou [pic 14]([pic 15]) = 0
[pic 16] [pic 17]0 para todo x, logo devemos ter [pic 18] = 0, que é uma equação do segundo grau na variável [pic 19], chamada EQUAÇÃO CARACTERÍSTICA.
A solução da equação diferencial linear irá depender da raízes [pic 20]1 e [pic 21]2.
- [pic 22]1, [pic 23]2 números reais e distintos [pic 24] C1[pic 25] e C2[pic 26] são soluções particulares da EDO e a solução geral é y = C1[pic 27] + C2[pic 28]
- [pic 29]1 = [pic 30]2 = [pic 31] (números reais e iguais) [pic 32] a solução geral da EDO é y = C1[pic 33] + C2x[pic 34]
- [pic 35]1 = a + bi, [pic 36]2 = a - bi (complexos conjugados: a, b reais) [pic 37] a solução geral é y = C1[pic 38] + C2[pic 39]
Ex: y'' - 2y' - 15y = 0
...