Distribuição Hipergeométrica & Normal

Universidade Federal de Mato Grosso do Sul

 Curso: Probabilidade e Estatistica

 Disciplina: Distribuições

 Professor: Claudio Seabra

ACADÊMICOS:

Cleiton Gonçalves

Marcio Greich Ribeiro

Junho/2013

Coxim-MS

 

INTRODUÇÃO

Frente às permutações que ocorrem no dia-a-dia, onde o mundo empresarial ou cientifico busca a efetividade de suas atividades seja na prestação de serviço, transformação de matéria prima em produto acabado, aprovação de novos medicamentos ou investimentos financeiros. Aplicar os conceitos de probabilidade significa aumento da competitividade, melhor controle e planejamento, com ele o administrador terá dados que lhe auxiliará nas tomadas de decisão, ou seja, é imprescindível usar probabilidade e estatística para obter sucesso.

 

Distribuição Hipergeométrica

Um experimento hipergeométrico é um experimento estatístico que tem as seguintes propriedades:

• Uma amostra de tamanho n é selecionada aleatoriamente sem reposição de uma população de N itens.

• Na população, k itens podem ser classificados como sucessos e N – k itens podem ser classificados como fracassos.

Considere o seguinte experimento estatístico. Você tem uma urna de 10 bolinhas de gude – 5 vermelhas e 5 verdes.

Você seleciona aleatoriamente 2 bolinhas de gude sem reposição e conta o número de bolinhas vermelha que você selecionou. Este seria um experimento hipergeométrico.

Note que não será um experimento binomial. Um experimento binomial exige que a probabilidade de sucesso seja constante em cada tentativa. Com o experimento acima, a probabilidade de um sucesso muda em cada tentativa. No início, a probabilidade de selecionar uma bolinha vermelha é 5/10. Se você selecionar uma bolinha vermelha na primeira tentativa, a probabilidade de selecionar uma bolinha vermelha na segunda tentativa é 4/9. E se você selecionar uma bolinha verde na primeira tentativa, a probabilidade de selecionar uma bolinha vermelha na segunda tentativa é 5/9.

Note ainda que se você selecionou as bolinhas com reposição, a probabilidade de sucesso não mudaria. Ela seria 5/10 em cada tentativa. Então, este seria um experimento binomial.

NOTAÇÃO

A seguinte notação é útil, quando falamos a respeito da probabilidade hipergeométrica e distribuições hipergeométricas:

• N: O número de itens na população.

• k: O número de itens na população que são classificados como sucessos.

• n: O número de itens na amostra.

• X: O número de itens na amostra que são classificados como sucessos.

• : O número de combinações de k coisas, tomando x coisas de cada vez.

• h(x;N,n,k): Probabilidade hipergeométrica ‐ a probabilidade que um experimento hipergeométrico de n‐tentativas resulte em exatamente x sucessos, quando população consistir de N itens, k dos quais são classificados como sucessos.

FUNÇÃO DE PROBABILIDADE

Uma variável aleatória hipergeométrica X é o número de sucessos que resulta de um experimento hipergeométrico. A distribuição de probabilidades de uma variável aleatória hipergeométrica é chamada função distribuição hipergeométrica.

EXEMPLO 1

No fichário de um hospital, estão arquivados os prontuários de 30 pacientes, que deram entrada no Pronto Socorro apresentando algum problema cardíaco. Destes 5 sofreram infarto.

Retirando‐se uma amostra ao acaso de 3 destes prontuários, qual a probabilidade de que 2 deles sejam de pacientes que sofreram infarto ?

Solução:

N = 20 k = 5 n = 3 X = 2

CÁLCULO DAS PROBABILIDADES NO EXCEL

=COMBIN(B5;B7) 10

=COMBIN( (B4-B5) ; (B6-B7) ) 15

=COMBIN(B4;B6) 1.140

RESULTADO ( =(B9*B10)/B11 ) 0,1316 13,16%

EXEMPLO 2

Suponha que selecionemos aleatoriamente 5 cartas do baralho sem reposição de um maço de jogo de baralho. Qual é a probabilidade de obter exatamente 2 cartas de baralho vermelhas isto é, copas ou ouros ?

Solução:

N = 52 k = 26 cartas vermelhas n = 5 cartas selecionadas aleatoriamente X = 2

CÁLCULO DAS PROBABILIDADES NO EXCEL

=COMBIN(B5;B7) 325

=COMBIN( (B4-B5) ; (B6-B7) ) 2.600

=COMBIN(B4;B6) 2.598.960

RESULTADO ( =(B9*B10)/B11 ) 0,3251 32,51%

DISTRIBUIÇÃO HIPERGEOMÉTRICA NO EXCEL

O Excel dispõe da função estatística DIST.HIPERGEOM cuja sintaxe é:

DIST.HIPERGEOM(exemplo_s; exemplo_núm; população_s; num_população)

Esta função dá a probabilidade de acontecer um número determinado de sucessos na amostra exemplo_s, conhecidos o tamanho da amostra exemplo_núm, o número de sucessos na população população_s e o tamanho da população num_população.

Por exemplo, a probabilidade de acontecerem 3 sucessos na amostra, conhecidos o tamanho da amostra 5, o número de sucessos na população 90 e o tamanho da população