EQUAÇÕES DIFERENCIAIS – MODELOS MATEMÁTICOS

AULA 02 – EQUAÇÕES DIFERENCIAIS – MODELOS MATEMÁTICOS

        Existem equações que determinam determinadas situações práticas. Uma vez projetado, alguns modelos podem ser aplicados para predizer diversas situações físicas. Por exemplo, a previsão do tempo, o crescimento de um tumor ou o resultado de um jogo de roleta podem estar associados a algumas forma de modelagem.

Métodos Qualitativos:

        Projetar um modelo pode ser um processo longo e árduo, envolvendo muitos anos de pesquisa. Uma vez formulados os modelos podem ser, na prática, impossíveis de ser resolvidos. Então, o pesquisador tem duas opções:

1. Simplificar o modelo de modo que possa ser utilizado de forma mais fácil. Essa é uma abordagem válida, desde que as simplificações adotadas não invalidem a utilidade do modelo.
2. Manter o modelo como ele é e utilizar outras técnicas, como métodos numéricos ou gráficos.

Essa é uma abordagem qualitativa. Enquanto não possuímos uma solução analítica exata, obteremos alguma informação que projete alguma luz sobre o modelo e sua aplicação.

Alguns modelos matemáticos:

• TF = 32 + 1,8 TC  ,  Este modelo converte temperatura em graus na escala Celsius para graus na escala Fahrenheit.
• PV = nRT , Esta equação modela gases ideais e é conhecida como Lei do Gás Perfeito. Aqui, P é a pressão ( em atmosfera), V é o volume ( em litros), n é o número de mols, R é a constante universal dos gases ( R = 8,3145 J/molK) e T é a temperatura (em graus Kelvin).
• PV = K, conhecida como Lei de Boyle, onde P (é a pressão atmosfera), V (litros) e K é uma constante (atmosferas – litros). Outra forma de indicar isso pe que a pressão e o volume são inversamente proporcionais.
• I = dq / dt, esta fórmula é aplicada em eletricidade; I representa a corrente ( em ampéres), q representa a carga (em coulombs), t é o tempo ( em segundos).
• Md2y / dt2 + ady / dt + Ky = F(t), trata-se de um modelo clássico; um sistema massa – mola forçado. Aqui, y é o deslocamento (metros), t é o tempo ( segundos), M é a massa (Kg), a é uma constante de amortecimento ou atrito (Kg), K é a constante da moa ( Kg/s²) e F(t) é uma função forçante (N).

Variações deste modelo podem ser aplicadas em problemas de absorção de impacto em automóveis, respondendo as questões sobre a coluna espinhal humana.

A equação diferencial utiliza uma série de conceitos clássicos, incluindo a segunda Lei de Newton e a Lei de Hooke.

• M’(t) = K.M(t), esta equação está classificada como uma “equação separável”. A solução desta equação diferencial, qualitativamente descrita como “decaimento exponencial”. É importante notar que k 0, pois M(t) está se reduzindo.[pic 1]
• P(t) = 1000, admita-se uma população P(t) possui taxa de crescimento proporcional a quantidade presente no instante de tempo t. neste caso a população no instante t0 = 1000. Fórmula geral: P(t) = P0 . .[pic 2][pic 3]

EXERCÍCIOS

1. Determine um modelo que converta temperatura na escala graus Fahrenheit para a escala graus Celsius. Utilize o modelo TF = 32 + 1,8 TC
2. A lei de Charles afirma que, para um gás ideal a uma pressão constante,  = K,[pic 4]

Onde V ( litros), T ( graus Kelvin) e K ( litros/ºK) é uma constante. O que esse modelo nos diz?

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