ESTABILIZADOS PROBLEMAS UNIDIMENSIONAIS

ESTABILIZADOS PROBLEMAS UNIDIMENSIONAIS.
FUNÇÕES DE BESSEL

As formulações globais e integrantes de constantes problemas unidimensionais envolvem a resolução de apenas equações algébricas. A formulação diferencial dos mesmos problemas, por outro lado, envolve a resolução de equações diferenciais de primeira ou de segunda ordem. Como mencionado no Capítulo 2, os métodos para resolução de equações diferenciais lineares de primeira ordem e de segunda ordem com coeficientes constantes, são assumidas a ser conhecido para o leitor. Daí para problemas unidimensionais estáveis, resultando em tais equações vamos dar a solução. Para problemas de condutividade térmica em função da temperatura da formulação diferencial produz uma equação diferencial não-linear de segunda ordem, e por problemas de condutividade térmica dependente do espaço, bem como para aqueles de superfícies estendidas com secções transversais variáveis, os resultados de formulação diferencial em um equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes variáveis. Nas seções 3-5 e 3-6, vamos introduzir os métodos adequados para solução de ambos os tipos de equações. Antes, porém, vamos considerar um problema geral em que uma série de conceitos importantes são definidos.

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3-1. Um problema geral
Considere-se, um cilindro oco ou uma concha longo de paredes espessas, fechado de paredes de espessura constante, cuja secção transversal é mostrado na Fig. 3-1. Este cilindro ou o revestimento contém um fluido à temperatura Ti, e é rodeado por um ambiente à temperatura To. Vamos supor que Ti> To. Os coeficientes de transferência de calor dentro e fora são oi e ho, respectivamente. Queremos saber a distribuição de temperatura de e a transferência de calor através deste cilindro ou comcha

O método de solução utilizada é a conveniente para problemas unidimensionais em que q = constante em cada secção transversal. As duas primeiras etapas da formulação (ver Secção 2-9) resultar em
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que dá imediatamente
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em que s representa o espaço variável e A (s) área de transferência de calor correspondente. O terceiro passo da formulação é
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A quarta etapa é a introdução da Eq. (3-3) na Eq. (3-2). Rearranjando e que integra o resultado entre as superfícies interiores e exteriores com a suposição de que k é uma constante, obtemos
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onde

é a chamada resistência ao condutor, e os subscritos 1 e 2 referem-se ao interior
e as superfícies exteriores, respectivamente. Equação (3-4) é análoga à lei de Ohm,
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para a corrente elétrica constante; o q transferência de calor por condução corresponde à corrente eléctrica I, o T1 queda de temperatura - T2 para o potencial de queda E 1 - E2, e a resistência R condutora para a resistência eléctrica Re • (? Qual é a forma diferencial da lei de Ohm)
Uma vez que as temperaturas ambientes são mais facilmente medida que a temperatura da superfície, é conveniente expressar q em termos da temperatura ambiente. A partir da última etapa da formulação, temos

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onde

é a resistência de convecção entre o fluido no interior e a superfície interior da parede; de forma semelhante, temos

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Onde

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é a resistência de convecção do lado de fora. Resolvendo equações. (3-4), (3-6) e (3-8) para as respectivas diferenças de temperatura, em seguida, adicionando os resultados lado a lado elimina T1 e T2, e os rendimentos
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O mesmo resultado pode ser facilmente obtido, considerando a analogia entre a difusão de calor e corrente eléctrica. Assim, o problema torna-se análoga à avaliação de uma corrente eléctrica através de três resistências conectadas em série (Fig. 3-2).
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Por vezes é conveniente para simplificar a Eq. (3-10), escrevendo-o em termos de chamada sobre-tudo coeficiente de transferência de calor U, a qual é definida de acordo com a
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Since U depende de A, a declaração de U é ambígua até que uma área é escolhido. Observando que
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onde você; e você; denotam o excesso de todos os coeficientes de transferência de calor com base nas superfícies interior e exterior, respectivamente, podemos escrever o coeficiente de fora Uo, por exemplo, como

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Para determinar a distribuição da temperatura do problema que reconsiderar a Eq. (3-4) a partir de agora integrada numa localização arbitrária s na superfície exterior na forma *
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em que T é a temperatura do local s. Eliminação de T2 entre Equações. (3-8) e (3-14) nos rendimentos de maneira usual
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Finalmente, o que equivale a Eq. (3-11) a Eq. (3-13) e reorganizar o resultado em termos de Uo, obtém-se a distribuição de temperatura desejada:
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Um método alternativo de solução que conduz primeiro a distribuição de temperatura e, em seguida, para a transferência de calor pode ser obtida a partir da formulação formal do problema. Assim, a equação que rege for encontrado, a partir dos quatro primeiros passos da formulação, para ser
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sujeita às condições de contorno
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obtido a partir do último passo da formulação. Substituindo a solução da Eq. (3-17),
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na Eq. (3-18) resulta
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* Uma expressão alternativa para a distribuição de temperatura é obtida levando essa integração para fora a partir da superfície interior para a localização arbitrária 8.

Os valores de C e D a partir da Eq. (3-20), introduzido na Eq. (3-19), dar a distribuição de temperatura obtido anteriormente, Eq. (3-16). A transferência de calor pode agora ser encontrado através da inserção de Eq. (3-16) para a combinação das Eqs. (3-2) e (3-3); isso gera o resultado anterior, Eq. (3-10).
Por conveniência, aplica-se o procedimento do problema exposto a três casos importantes, o cartesiano, cilíndrico, e geometrias esféricas. Os sobre-todos os coeficientes de transferência de calor com base na área de superfície externa e as distribuições de temperatura destas geometrias são: