EXERCÍCIO DE DERIVADA

UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO

CENTRO DE CIÊNCIAS SOCIAIS APLICADAS

DEPARTAMENTO DE ECONOMIA

Disciplina: ELEMENTOS DE ECONOMIA MATEMÁTICA I

Prof. Alexandre Stamford

2o Semestre de 2001.

Monitor Otávio Sousa Miranda 18/01/2002.

1° LISTA DE EXERCÍCIOS

1) Faça as derivadas das seguintes funções:

Dado: d sen(u)/du = cos(u), d cos(u)/du = -sen(u),

d (eu)/du = eu, d log(u)/du = 1/u.

a) f(x) = (x + 5)-5/3

b) f(x) = (2x2 + 1)2 (x2 + 3x)

c) f(x) = (2x2 + x – 1)5/2 / (3x + 2)9

d) f(x) = sen(2x)/cos(3x)

e) f(x) = (ex + 1)1/2

f) f(x) = log(x2 + 2)/e-x

2) P = 130 + 2x3/2 é a função que dá, em milhões de habitantes, a população de um país em função do tempo x, em anos, a partir de hoje.

a) Determine a função Crescimento Populacional. Por que a derivada da função População é a função Crescimento Populacional?

b) Quantos Habitantes terá esse país daqui a quatro anos?

c) Quanto a população estará crescendo por ano daqui a exatamente quatro anos?

3) Encontre os pontos críticos e classifique-os (máximo, mínimo e ponto de inflexão).

a) y = 40 – 6x + x2

b) y = 2x2 – x3

c) y = x5 + 5x3 + 5

d) y = k.exp(-x2 /2)

e) y = x + 1/x

f) Seja C = q3 – 9q2 + 40q + 50 uma função Custo Total.

4) Seja P = -x3 + 300x a função que dá a quantidade produzida de certo produto agrícola em função da quantidade de fertilizante.

a) Determine a função Produção Marginal (Pmg) e resolva a equação Pmg = 0 e as inequações Pmg>0 e Pmg>0.

b) Determine os pontos de máximo e mínimo, se houver, e os intervalos de crescimento e decrescimento da função Produção.

c) Faça o gráfico de P.

5) Determine os pontos de máximo, mínimo ou sela, se houver.

a) Z = [(x3 + y3)/3] - 3x2 – 3y2 + 8x + 50

b) Z = x2 + 4xy + y2 –40x – 56y +1

c) Z = x3 – y3

d) Z = x2 + 2y2 – 4x – 12y + 32

e) Z = 6x + 12y – x2 – y3

f) Z = ln (4xy – 10)

g) Z = exp(2x + y2)

6) Seja U = 4xy + 3x –x3 – y2 a função que dá a utilidade de um consumidor de dois produtos de quantidades x e y.

a) Determine a combinação (x, y) que lhe proporciona a utilidade máxima.

b) Teste o ponto encontrado para verificar se realmente se trata de um ponto de máximo.

c) Determine a utilidade máxima do consumidor.

7) Sejam px = 5 – x2 e py = 4 – y2 as funções Demanda para dois produtos de quantidades x e y e seja C = x2 + 2y2 + 2 a função Custo associada. Determine o lucro máximo.

8) Seja L = 20x – x2 + 32y –2y2 a função lucro de uma indústria que produz e comercializa dois produtos em quantidades x e y. Quer-se calcular o lucro máximo, sabendo que a produção da indústria é limitada em 24 unidades, incluídos os dois produtos.

9) Sejam Z = 3x1/3 y1/3 e C = x2 + 2y + 8, respectivamente, as funções Produção e Custo para uma empresa que quer calcular seu custo mínimo para uma produção de 12 unidades.

10) Seja U = xy – x a função que dá a utilidade de um consumidor de dois produtos de quantidades x e y. Calcule a utilidade máxima do consumidor, sabendo que sua restrição orçamentária é dada pela igualdade 8x + 2y = 34.

“A ignorância é a chave da certeza”

Autor Desconhecido

RESOLUÇÃO

1) a.

b.

c.

d.

e.

f.

2)

a.

Porque a derivada dá a variação na população correspondente à variação de um ano no tempo.

b.

=146 milhões de hab.

c. = 6 milhões de hab por ano.

3)

a. y = 40 – 6x + x2

y’= , Resolvendo esta equação temos x = 3. Assim, o único ponto crítico desta função é (x, y) = (3, 31).

y’’= 2. Então o ponto (3,31) é de mínimo.

b. y = 2x2 – x3

y’= , (x = 0 ou x = 4/3).

y’’= [ em x = 0 / y’’= 4 (Ponto de Mínimo)]

[ em x = 4/3 / y’’= (Ponto de Máximo)]

c. y = x5 + 5x3 + 5

y’= , (x = 0).

y’’=