Edo Equaçoes Diferenciais

Etapa 1:

Passo 1: Pesquisar e estudar sobre a modelagem de sistemas por meio de equações diferenciais em sistemas físicos e problemas de engenharia.

A modelagem matemática é a área do conhecimento que estuda a simulação de sistemas reais a fim de prever o comportamento dos mesmos, sendo empregada em diversos campos de estudo, como física, química, biologia, economia e engenharia. Modelagem matemática consiste na Arte de se descrever matematicamente um fenômeno.

A modelagem de um fenômeno via equações diferenciais, é normalmente feita da seguinte forma: através da simples observação conseguem-se informações sobre as taxas de variação do fenômeno (que do ponto de vista matemático são derivadas), escreve-se a equação que relaciona as taxas de variação e a função, isto é, a equação diferencial associada e, a partir da solução desta equação tem-se uma possível descrição do fenômeno.

Passo 2 (Equipe)

Uma equação diferencial é uma equação que envolve derivadas e/ou diferenciais, uma vez que é possível transformar uma derivada em uma equação diferencial. O Cálculo Integral [1a - 4a], cujo primeiro objetivo é obter uma função na forma macroscópica, a partir da sua representação diferencial fecha, num certo sentido, a análise deste assunto: A integral é um operador aplicado sobre uma diferencial, com o objetivo de recuperar a função que foi diferenciada ou derivada; a operação matemática que esse operador executa chama-se integração. O objetivo de uma integração é obter um número ou uma relação explícita entre variáveis.

As integrais podem ser classificadas em três tipos:

a) integrais indefinidas;

b) integrais definidas;

c) integrais impróprias.

As propriedades e características desses tipos de integração surgem dos processos de obtenção das regras de integração.

INTEGRAL INDEFINIDA

Com o objetivo de mostrar as regras para integração, vamos começar dos seus resultados mais simples, envolvendo funções polinomiais. Assim, já sabemos que a derivada de uma constante é igual a zero, isto é, dada a função

y = a ---------- = 0

Como é possível a partir desta última relação obter a função original? Utilizando propriedade dos diferenciais, podemos escrever:

dy = 0.dx = 0

Integrando, vem:

O primeiro membro desta equação deve reproduzir a variável dependente y; isto pode ser obtido através da operação:

= y

a partir da qual se obtém a primeira regra de integração: o operador integral anula a ação do operador diferencial, isto é, eles são opostos. Deve-se observar no entanto que existe uma ordem para que os dois operadores se anulem: o operador integral deve atuar, pela esquerda, sobre o operador diferencial. Esta é uma diferença marcante em relação aos operadores algébricos (soma e subtração, multiplicação e divisão) que não dependem da ordem dada. Costuma-se dizer que essa operação transforma-se no operador unitário:

= 1

Com relação ao segundo membro da equação, como a função original não contém a variável x, pode-se escrever:

que resulta na segunda regra de integração: a integral do produto de uma constante pela variável de integração é igual ao produto da constante pela integral da variável de integração; em outras palavras, a constante pode ser retirada para fora da integral. É interessante observar que matematicamente essa regra contém a primeira; contudo, o objetivo da primeira regra é mostrar a forma de anular a ação dos dois operadores. Retornando à integração anterior, somente essas duas regras não reproduzem a função original (falta a constante a). Considerando que o processo de derivação (ou de diferenciação) provoca a perda de informação da função, estabelecemos uma terceira regra, que consiste em introduzir uma constante na operação de integração, a fim de reproduzir a função original, isto é:

+ C1 (1)

onde C1 é denominada de constante de integração. Rigorosamente, a constante de integração deve ser introduzida em cada termo que está sendo integrado. Assim, para a equação anterior, teríamos:

+ C1' = + C2'

Mas, como essa expressão pode ser adaptada para:

= + C2' - C1'

que pode ser escrita como:

= + C1

uma vez que a diferença entre duas constantes é uma constante, é comum expressar que é suficiente introduzir uma constante de integração em um dos membros da equação que está sendo integrada. Este tipo de integral é denominado integral indefinida. Com essas regras, a função original é obtida:

y = C1

A obtenção do valor correto da constante C1 é um dos problemas clássicos do Cálculo, sendo denominado "problema do valor de contorno". É através do seu valor ou da expressão que essa constante representa, que se identifica a equação obtida através do cálculo com o fenômeno estudado. Com procedimento análogo, as outras regras de integração podem ser obtidas. Considerando agora um caso mais genérico, seja y = f(x) um função qualquer e f'(x) sua derivada:

y = f(x) e = f'(x) a partir da qual se pode escrever:

dy = f'(x).dx

Integrando essa última expressão, vem:

+ C1

ou

y = + C1 (2)

INTEGRAL DEFINIDA

Uma pergunta que pode ser feita é a seguinte: é possível proceder à integração sem o aparecimento da constante C1?. A eliminação da constante de integração pode ser obtida através de um tipo de integral chamado de integral definida, que é uma integral cujo processo de integração deve ser realizado entre dois valores da variável de integração.

A integral definida