Engenharia

Surgimento e Técnicas de integração

As primeiras idéias de integral, também conhecida como antiderivada, surgiram a partir da concepção geométrica de cálculo de áreas de figuras com o método da exaustão atribuído a Eudoxo (406 - 355 a.C), desenvolvido e aperfeiçoado por Arquimedes (287-212 a.C). A primeira tentativa de uma conceituação precisa foi feita por volta de 1820, pelo matemático francês Augustin Louis Cauchy (1789-1857). Mais tarde, o conceito de integral foi sistematizado por Isaac Newton (1642-1727) e Wilhelm Leibniz (1646-1716) a partir das idéias e dos métodos desses cientistas, surgidos principalmente ao longo dos séculos XVI e XVII.

O processo do cálculo da integral de uma função é chamado de integração. Existem várias definições para a integração. Assim, o conceito de integral pode ser introduzido de várias formas, todas elas tendo em comum a mesma idéia geométrica, mas que se diferenciam pelo rigor matemático utilizado. Em algumas áreas do conhecimento, como a Análise Matemática, esse conceito é apresentado em grau maior de complexidade.

Os cálculos relacionados a áreas de figuras planas regulares são de certa forma realizados facilmente, devido às fórmulas matemáticas existentes. No caso de figuras como o triângulo, quadrado, retângulo, trapézios, losangos, paralelogramo entre outras, basta relacionarmos as fórmulas à figura e realizar os cálculos necessários.

Podemos representar algebricamente uma curva no plano através de uma lei de formação chamada função. A integral de uma função foi criada no intuito de determinar áreas sob uma curva no plano cartesiano. Os cálculos envolvendo integrais possuem diversas aplicações na Matemática e na Física. Observe a ilustração a seguir:

Para calcular a área da região demarcada (S) utilizamos a integrada função f na variável x, entre o intervalo a e b:

A ideia principal dessa expressão é dividir a área demarcada em infinitos retângulos, pois intuitivamente a integral de f(x) corresponde à soma dos retângulos de altura f(x) e base dx, onde o produto de f(x) por dx corresponde à área de cada retângulo. A soma das áreas infinitesimais fornecerá a área total da superfície sob a curva.

Ao resolvermos a integral entre os limites a e b, teremos como resultado a seguinte expressão:

INTEGRAL POR SUBSTITUIÇÃO

O cálculo da integral indefinida nem sempre é possível com a aplicação da tabela de integrais imediatas. Porém esse cálculo, às vezes, torna-se possível, por meio de uma substituição conveniente da variável inicial.

INTEGRAL POR PARTES

A integração por partes é um processo que utiliza a fórmula da derivada do produto de duas funções

Esta é a fórmula do método de Integral por Partes udv = uv - vdu

É aplicada para integrar algumas funções do tipo udv, isto é, aquelas em que é possível reconhecer o produto de uma função u( x ) pela diferencial de outra função dv.

SUBSTITUIÇÕES TRIGONOMÉTRICAS