Equações diferenciais

Equações Diferenciais de Primeira Ordem – Aplicações

(PLT 178 (2010), pág. 484). A equação diferencial que descreve caimento ou decaimento exponencial é da forma:

𝑑𝑃

𝑑𝑡 = 𝑘𝑃

A solução é da forma: 𝑃 = 𝑃0𝑒

𝑘𝑡

onde 𝑃0 é o valor inicial (correspondente à constante 𝐶), e 𝑘 > 0 representa crescimento e 𝑘 < 0 representa

decaimento.

Lembrete: o tempo de duplicação de uma quantidade que cresce exponencialmente é o tempo necessário para que

ela dobre. A meia-vida de uma quantidade que decai exponencialmente é a quantidade de tempo necessária para que

ela caia à metade (PLT 178 (2010), pág. 406).

Aplicações de crescimento e decaimento exponencial ocorrem no cálculo de:

 Juros compostos continuamente

 Crescimento de populações

 Lei de resfriamento de Newton

Exemplo 1. JUROS COMPOSTOS CONTINUAMENTE (PLT 178 (2010), pág. 406). Em um banco, compor juros

continuamente significa que os juros são calculados a uma taxa que é um percentual fixo do saldo na conta naquele

instante. Portanto, quanto maior o saldo, maior é a quantidade de juros recebida e o saldo cresce mais rápido. Uma

conta bancária recebe juros continuamente com uma taxa de 5% do saldo atual por ano. Suponha que o depósito

inicial seja de R$ 1.000,00 e que não se fazem mais depósitos ou retiradas.

a) Escreva a equação diferencial satisfeita pela conta bancária.

b) Resolva a equação.

SOLUÇÃO:

a) Estamos considerando o saldo B da conta, em reais, como função do tempo medido em anos. Os juros são

adicionados à conta continuamente a uma taxa de 5% do saldo existente naquele instante. Como não há

depósitos ou retiradas, em qualquer instante teremos:

Taxa de crescimento do saldo = taxa dos juros recebidos = 5% (saldo atual)

Que podemos escrever na forma: 𝑑𝐵

𝑑𝑡

= 0,05𝐵

Esta é a equação diferencial que descreve o processo. Ela não envolve a condição inicial R$ 1.000,00, pois o depósito

inicial não afeta o processo pelo qual os juros são recebidos.

b) Usando separação de variáveis para resolver a equação obtemos: 𝐵 = 𝐵0𝑒

0,05𝑡

Onde 𝐵0 é o valor de 𝐵 em 𝑡 = 0, de modo que 𝐵0 = 1000.

Portanto, 𝐵 = 1000𝑒

0,05𝑡

Exemplo 2. LEI DE AQUECIMENTO E RESFRIAMENTO DE NEWTON (PLT 178 (2010), pág. 408). Newton afirmou que a

temperatura de um corpo quente decresce numa taxa proporcional à diferença entre a sua temperatura e a

temperatura do ambiente onde ele se encontra. De forma análoga, um objeto frio se aquece a uma taxa proporcional

à diferença de temperatura entre a temperatura do objeto e a do ambiente onde ele se encontra. Quando um

assassinato é cometido, o corpo da vítima, originalmente a 37°C, esfria de acordo com a Lei do Resfriamento de

Newton. Suponha que duas horas depois a temperatura seja de 35°C e que a temperatura do ar seja constante e igual

a 20°C.

a) Encontre a temperatura 𝐻, do corpo em função de 𝑡, o tempo em horas desde que o crime foi cometido.

b) Esboce o gráfico da temperatura em função do tempo.

c) O que ocorre com a temperatura depois de passado muito tempo?

d) A que horas o crime foi cometido se o corpo foi encontrado às 4 horas da tarde com a temperatura 30°C?

SOLUÇÃO:

a) Primeiro vamos encontrar a equação diferencial para a temperatura em função do tempo. A lei de

resfriamento de Newton afirma que existe uma constante 𝛼 tal que:

Taxa de variação da temperatura = 𝛼(diferença de temperaturas entre o objeto e o ambiente).

Se 𝐻 é a temperatura do corpo, então: diferença de temperaturas = 𝐻 − 20

De modo que

𝑑𝐻

𝑑𝑡 = 𝛼(𝐻 − 20)

Qual o sinal de 𝛼? Se a diferença