Equação da Continuidade

Equação da continuidade

[pic 1]

Consideremos uma porção de fluido em cor amarela na figura, no instante inicial t e no instante t+Δt.

Em um intervalo de tempo Δt a secção  S1 que limita a porção de fluido no tubo inferior se move para a direita Δx1=v1Δt. A massa de fluido deslocada para a direita é Δm1=ρ·S1Δx1=ρS1v1Δt.

Analogamente, a secção S2 que limita a porção de fluido considerada no tubo superior se move para a direita  Δx2=v2Δt. no intervalo de tempo Δt. A massa de fluido deslocada é Δm2=ρ S2v2 Δt. Devido ao fluxo ser estacionário a massa que atravessa a secção S1 num tempo Δt, tem que ser igual à massa que atravessa a secção S2 no mesmo intervalo de tempo. Logo

v1S1=v2S2

Esta relação é denominada equação da continuidade.

Na figura, o raio do primeiro ramo do tubo é o dobro que o do segundo ramo, logo a velocidade do fluido no segundo ramo é quatro vezes maior que no primeiro.

Exemplo:

Quando é aberta pouco a pouco uma torneira, é formado um pequeno jato de água, um fio cujo raio vai diminuindo com a distância a torneira e que ao final, se rompe formando gotas.

A equação da continuidade nos proporciona a forma da superfície do jatinho de água que cai da torneira, tal como apreciamos na figura.

[pic 2]

A secção transversal do jato de água quando sai da torneira é S0, e a velocidade da água é v0. Devido à ação da gravidade a velocidade v da água é aumentada. A uma distância h da torneira a velocidade é [pic 3] Aplicando a equação da continuidade [pic 4] Explicitamos o raio r do fio de água em função da distância h a torneira. [pic 5]

 

Equação de Bernoulli

Calculemos as variações energéticas que ocorrem na porção de fluido mostrada em cor amarela, quando se desloca ao longo do tubo. Na figura, é mostrada a situação inicial e comparamos com a situação final depois de um tempo Δt. Durante este intervalo de tempo, a face posterior S2 foi deslocado v2 Δt e a face anterior S1 do elemento de fluido foi deslocada v1Δt para a direita.

[pic 6]

O elemento de massa Δm pode ser expresso como  Δm=ρ S2v2Δt=ρ S1v1Δt= ρ ΔV

Comparando a situação inicial no instante t e a situação final no instante t+Δt. Observamos que o elemento Δm aumenta sua altura, desde a altura y1 a altura y2

• A variação de energia potencial é ΔEp=Δm·gy2-Δm·gy1=ρ ΔV· (y2-y1)g

O elemento Δm muda sua velocidade de v1 a v2,

• A variação de energia cinética é ΔEk =[pic 7]

O resto do fluido exerce forças devidas a pressão sobre a porção de fluido considerado, sobre sua face anterior e sobre sua face posterior F1=p1S1 e F2=p2S2.

A força F1 é deslocada Δx1=v1Δt. A força e o deslocamento são de mesmo sinal