Equações Diferenciais

1- INTRODUÇÃO

O conteúdo aqui exposto evidencia a importância de se ter uma base sólida nas técnicas de modelagem e tratamento matemático de circuitos elétricos, que se dá por meio de equações diferenciais, nas quais é frequente o uso de séries no tratamento matemático.

2- OBJETIVO

Promover o estudo de dispositivos utilizados em circuitos elétricos por meio de equações diferenciais.

3- DESENVOLVIMENTO – Etapa 1

PASSO 1: Pesquisar e estudar sobre a modelagem de sistemas por meio de equações diferenciais em sistemas físicos e problemas de engenharia.

PASSO 2: Revisar os conteúdos sobre diferencial de uma função e sobre as técnicas de integração de funções de uma variável.

PASSO 3: Estudar o método de resolução de equações diferenciais lineares de variáveis separáveis e de primeira ordem.

PASSO 4: Pesquisar em livros, sites e artigos sobre a modelagem de circuitos elétricos por meio de equações diferenciais.

4- DESENVOLVIMENTO – Etapa 2

PASSO 1: Escolher um dispositivo cujo circuito elétrico será estudado.

PASSO 2: Transformar, se possível, o circuito elétrico escolhido em um circuito equivalente.

PASSO 3: Representar o circuito elétrico escolhido em um diagrama, com base na simbologia dos elementos elétricos.

PASSO 4: Modelar o circuito elétrico observando as técnicas de equações diferenciais, detalhando cada etapa da modelagem.

Análise para Circuito RC

Em muitos dos circuitos práticos, há mais do que uma resistência e uma capacitância. Neste caso, deve-se reduzir o circuito original a um circuito equivalente com apenas uma resistência e uma capacitância e definir a constante de tempo τ= ReqCeq. Quando isto não for possível, o circuito não será de primeira ordem;

Considere o circuito da Figura 1.

Circuito RC com fonte de corrente

Então, uma equação que engloba as características (tensão e corrente) deste circuito, é:

I= iR(t) + iC(t)

C dvc(t) + 1vc(t) = 1

dt R

Ou, dividindo todos as variáveis por C:

Observa-se que a equação acima é uma equação diferencial de 1° ordem e pode

ser resolvida utilizando o método matemático descrito a seguir.

Método Matemático clássico para solução de equações diferenciais:

Considere a equação proposta acima. A resposta completa para esta equação será a soma de

duas outras respostas, uma chamada resposta homogênea vch (t) e outra chamada resposta particular vcp(t). A soma dessas duas repostas resulta na tensão vc (t), ou seja:

Os itens de ‘a’ a ‘c’ que se seguem, mostram como encontrar a resposta homogênea e a resposta particular para a equação:

a)