Equações Diferenciais

Anhanguera Educacional

Unidade 4

Engenharia de Produção / Automação

ATPS Equações Diferenciais e Séries

Campinas

2014

ATPS Equações Diferenciais e Séries

Monografia apresentada como exigência para obtenção do grau de Licenciatura em Engenharia de Produção / Automação da Anhanguera Educacional.

Orientador: José Pires

Campinas

2014

RESUMO

Esta atividade foi importante para compreender as técnicas de resolução de uma equação diferencial, aplicando o estudo de séries.

Palavras-chave: atividade resolução diferencial

ABSTRACT

Esta atividade foi importante para compreender as técnicas de resolução de uma equação diferencial, aplicando o estudo de séries.

Keywords: This activity was important to understand the techniques of solving a differential equation, applying the study series.

SUMÁRIO

1 INTRODUÇÃO 5

1.1 Técnicas de integração de funções de uma variável 5

1.2 Resolução de equações diferenciais lineares de variáveis separáveis e de primeira ordem 6

1.3 Modelagem de circuitos elétricos por meio de equações diferenciais 7

2 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS LINEARES DE ORDEM SUPERIOR 9

3 CONCLUSÃO 15

4 REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICAS 16

1 INTRODUÇÃO

Pesquisar e estudar sobre a modelagem de sistemas por meio de equações diferenciais em sistemas físicos e problemas de engenharia.

A modelagem matemática é a área do conhecimento que estuda a simulação de sistemas reais a fim de prever o comportamento dos mesmos, sendo empregada em diversos campos de estudo, como física, química, biologia, economia e engenharia. Modelagem matemática consiste na Arte de se descrever matematicamente um fenômeno.

A modelagem de um fenômeno via equações diferenciais, é normalmente feita da seguinte forma: através da simples observação conseguem-se informações sobre as taxas de variação do fenômeno (que do ponto de vista matemático são derivadas), escreve-se a equação que relaciona as taxas de variação e a função, isto é, a equação diferencial associada e, a partir da solução desta equação tem-se uma possível descrição do fenômeno.

1.1 Técnicas de integração de funções de uma variável

A integração é um processo que demanda certa habilidade e técnica, ele provê um meio indispensável para análises de cálculos diversos, além disso, o meio de integrar certas funções deve ser exercitado até que sejamos capazes de absorver a sua essência. O problema da integração deve ser visto como uma análise que pode conduzir a resultados algébricos diversos, quando tomadas técnicas diversas, que concordam, porém, em resultado numérico.

Método de conjecturar e verificar

Uma boa estratégia para se encontrar primitivas simples é fazer uma conjectura de qual deve ser a resposta e depois verificar sua resposta derivando-a. Se obtivermos o resultado esperado, acabou. O método de conjecturar e verificar são útil na inversão da regra da cadeia.

Método por substituição

Quando o integrado e complicado utilizamos essa técnica para formalizar o método de conjeturar e verificar da seguinte maneira

Dw = w´(x) dx = (dw/dx) dx

No método de substituição parece que tratamos dw e dx como entidades separadas, até cancelando-as da equação dw= (dw/dx)dx.

Método Por partes

A técnica de integração por partes consiste da utilização do conceito de diferencial inversa aplicado à fórmula da regra da diferencial do produto, ou seja:

1.2 Resolução de equações diferenciais lineares de variáveis separáveis e de primeira ordem

Equações diferenciais lineares de variáveis separáveis:

A equação diferencial M(x,y).dx + N(x,y).dy = 0 será de variáveis separáveis se:

- M e N forem funções de apenas uma variável ou constantes.

- M e N forem produtos de fatores de uma só variável.

Isto é, se a equação diferencial puder ser colocada na forma P(x)dx + Q(y)dy = 0, a equação é chamada equação diferencial de variáveis separáveis.

Uma equação diferencial de variável separada é uma equação do tipo:

g(y) dy = f(x)dx

A solução geral da equação diferencial de variável separada obtém-se por primitivação de ambos os membros da equação, ou seja,

∫g(y)dy = ∫f(x)dx+C.

Chama-se equação de variáveis separáveis uma equação do tipo:

F1 (x)h1 (y)dx = f2(x)h2 (y)dy

Na qual o coeficiente associado a cada diferencial se pode fatorizar em funções, dependentes só de x ou só de y.

Dividindo ambos os membros pelo produto f2(x)h1(y) a equação fica com as variáveis separadas:

=