Equações diferenciais

2 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS

Definição : Chama-se equação diferencial à equação que possui as derivadas ou diferenciais de uma ou mais variáveis dependentes, em relação a uma ou mais variáveis livres. Exemplos: a) 31 =− x dx dy

b) x ye dx dy dx dy 5 2 2 1267 +=−

c) x dx dy dx dy 5 cos 43 2 2 =      −       

d) xyz y z x x z 3 = ∂ ∂ − ∂ ∂ Classificação: A equação será chamada de ordinária se as variáveis dependentes forem função de uma única variável livre, caso contrário, serão chamadas de equações diferenciais parciais. As equações dos exemplos a, b e c anteriores são equações diferenciais ordinárias e a equação do exemplo d é uma equação diferencial parcial.

Ordem: Chama-se ordem de uma equação diferencial à ordem da derivada de maior ordem. As equações a) e d) são de primeira ordem, já os exemplos b) e c) são de segunda ordem.

Grau: Grau é o maior expoente da derivada de maior ordem. As equações a, b e d são de primeiro grau e o exemplo c é do terceiro grau.

Solução: É uma função que quando substituída na equação diferencial a transforma numa identidade. As soluções podem ser: solução geral, particular ou singular. Chama-se solução geral à família de curvas integrais que verifica a equação diferencial e possui constantes arbitrárias. Chama-se solução particular de uma equação diferencial à solução obtida a partir da solução geral impondo condições iniciais ou de contorno. Geralmente as condições iniciais serão dadas para o instante inicial, já as condições de contorno aparecem quando nas equações de ordem superior os valores da função e de suas derivadas são dadas em pontos distintos. Por exemplo: Resolver a equação diferencial ordinária (EDO) yx y '6 ''5 − =+ , sujeita às condições iniciais y(0) =2 e y’(0) = 3, ou resolver a EDO yx y '6 ''5 − =+ , sujeita às condições de contorno y(0)=2 e y’(1)=3. Chama-se solução singular de uma equação diferencial à envoltória 1 da família de curvas integrais. Teorema da existência: A equação ,) (xyg dx dy = admite solução se: • g(x,y) é contínua e unívoca em uma região D de pontos (x,y). • gy ∂∂ existe e é contínua em todos os pontos de D.

____________________ 1 Envoltória de uma família de curvas é a uma curva tangente a todas as curvas da família.

3 Exercícios: 1. Mostre, por substituição, que as seguintes funções são soluções das equações diferenciais dadas: a) 2x ye = , y0 6y'5y" = +− b) 3x ye = , y0 6y'5y" = +− c) 3x 2 2x 1 Ce Cey =+ , y0 6y'5y" = +− d) x xlnBx3y Ax 2 +−= , 3x 2yxy'2y"x 2 += −

e) xx Ax Bxy 2 ln ln + ++= , yx dx dy x dx dy x ln 2 2 2 += −

2. Determine uma equação diferencial de menor ordem possível que não contenha constantes arbitrárias e que possua as seguintes soluções: a) 2 y Cx = b) 2 2 1xCyC =+ c) 2x Bcos2xAseny += d) 2x x Ae Bey =+

e) Cy y x =+ ln1 f) ( ) 223 xyxC =− g) xC xyygecx + =+−+ ()) cotcos(

3. Encontre uma equação diferencial da família de circunferências de raio 5 e de centros sobre o eixo dos x.

4. Nas equações diferenciais a seguir, substitua rx ye = para determinar todos os valores de r para os quais rx ye = é uma solução da equação. a) 2y y'3 = b) y y"4 = c) y0 2y'y" = −+ d) y0 4y'3y"3 = −+ e) 80 4'" = +− yyy

5. Nos exercícios seguintes, uma função y=g(x) é descrita por alguma propriedade geométrica de seu gráfico. Escreva uma equação diferencial da forma y’=f(x,y), tendo a função y=g(x) como solução: a) A inclinação (declividade) do gráfico de g no ponto (x,y) é a soma de x e y. b) A reta tangente ao gráfico de g no ponto (x,y) intercepta o eixo dos x em (x/2,0). c) Cada reta normal ao gráfico de g passa pelo ponto (0,1). d) A reta tangente ao gráfico de g em (x,y) passa pelo ponto (-y,x).

4 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE 1ª ORDEM E 1º GRAU:

Neste estudo vamos dividir as equações de 1 a ordem e 1 o grau, para um melhor entendimento, em alguns tipos.

1° °° °TIPO: EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE VARIÁVEIS SEPARÁVEIS A equação de 1 a ordem e 1 o grau 0 (x,y)dyN(x,y)dxM = + será de variáveis separáveis se: • M e N forem funções de apenas uma variável ou constantes. • M e N forem produtos de fatores de uma só variável. Observação: A equação da forma () fy dx dy = (1), onde a função f depende somente da variável y e não depende da variável independente x, é chamada de equação autônoma. Uma propriedade importante dessas equações é que se () yxy = é uma solução de (1) então () xcuy += também é uma solução, onde c é uma constante.

Resolução: Para resolvermos tal tipo de equação diferencial, como o próprio nome já diz, deveremos separar a variáveis, isto é, deveremos deixar o coeficiente da diferencial dx como sendo uma função exclusiva da variável x e o coeficiente da diferencial dy como sendo uma função exclusiva da variável y, e então integrarmos cada diferencial.

Exemplo: Determine a solução geral da equação diferencial yx dx dy 3 cos = Solução: Primeiramente devemos escrever a EDO na forma de uma diferencial. y xdxdy 3 cos= Vamos determinar um fator integrante 2 que separe as variáveis, que será:

y

FI

1 =

Multiplicando ambos os membros da equação pelo fator integrante, vem:

xdx

y dy 3cos =

Integrando ambos os membros, teremos:

∫∫ = xdx y dy 3cos senxCy +=ln3 senxCey 3 1=

__________________________ 2 Fator integrante é um fator que quando multiplicado em ambos os membros da equação separará as variáveis ou transformará a equação num modelo conhecido.

5 Resolva as seguintes equações diferenciais, por separação de variáveis. 1. 31 =− x dx dy 2. 0 =− ydx xdy

3. 0 4 = − − dy y x xdx 4. sec0 sec.. = −tgy xdytgx ydx 5. 10 1)( 22 2 −= −− x dy y dxx 6. 0 1)( = −− dy ydxx

7.

2