Equações diferenciais

1 – Introdução

As equações diferenciais ordinárias são instrumentos essenciais para a modelação de muitos fenómenos provenientes de várias áreas como a física, química, economia, ecologia, etc… Equações diferenciais diferencias ordinárias em matemática deve-se, sobretudo ao facto de muitas leis científicas são expressas em termos de taxa de variação (derivada). Por exemplo,

0,30(u-60)[pic 1][pic 2]

Essa é uma equação que descreve (aproximadamente) a variação da temperatura ucom o decorrer do tempo t, num corpo que perde calor por convecção natural quando rodeado por uma temperatura constante. Esta equação é designada de equação diferencial ordinária de primeira ordem porque contem apenas derivadas de primeira ordem em relação a uma única variável (t). Uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) que contem derivadas de ordem é também designada por EDO de ordem n.

 A solução de uma equação diferencial é uma função que satisfaz a equação diferencial assim como certas condições iniciais da função. Quando se resolve uma equação diferencial analiticamente, encontra-se normalmente uma solução geral contendo certo número de constantes arbitrárias determinadas de maneira a que a função esteja de acordo com as condições iniciais. Contudo nem todas as equações diferenciais têm solução analítica.

Por outro lado os métodos numéricos não têm limitações dos métodos analíticos pelo que se aplicam a qualquer forma de equação diferencial.

Podemos introduzir alguns dos métodos mais simples utilizados na resolução numérica de equações diferencias ordinárias de primeira ordem. Esta equação pode ser genericamente representada na forma:

= f(x,y)[pic 3]

Técnicas de integração de funções de uma variável

É importante conseguirmos interpretar e identificar as antiderivadas. Mas nossas formulas de antidiferenciação não mostram como calcular integrais,por exemplo;

[pic 4]

Para calcularmos essa integral devemos expandir e identificar qual é a integral e a integrada fazendo uma mudança de variáveis:

U=2x+4

Du=2 dx

Se substituímos e reescrever essa equação [1], obtemos;[pic 5][pic 6]

 dx= (2x dx)=[pic 7][pic 8][pic 9]

                   Reescrevendo                   {u=2x+4 du

                                                              {du= 2x dx

Assim resolvemos essa integral teremos;

 du= u³ +C[pic 10][pic 11]

Portanto, usando este resultado e substituindo u por u = 2x + 4, obtemos

 .(2x+4)³ + C[pic 12]

Podemos verificar e confirmar que o resultado que acabamos de obter é igual;[pic 13]

 = [ .(2x+4)]=.3.(2x+4)².(2) =2.(2x+4)²[pic 14][pic 15][pic 16]