Escoamento Entre Duas Placas Horizontais
Por: Aline Paixão • 17/4/2018 • Trabalho acadêmico • 960 Palavras (4 Páginas) • 314 Visualizações
Sumário
1. Introdução 4
2. Equações de Navier-Stokes 4
3. Aplicação em escoamento de fluido entre duas placas horizontais 7
4. Referências Bibliográficas 9
Introdução
As equações de Navier-Stokes foram derivadas inicialmente por M. Navier em 1827 e por S.D. Poisson em 1831, baseando-se num argumento envolvendo considerações de forças intermoleculares. Mais tarde as mesmas equações foram derivadas sem o uso de nenhuma dessas hipóteses por B. de Saint Vernant em 1843 e por G.G. Stokes em 1945. Suas derivações foram baseadas na hipótese de que as tensões normais e cisalhantes são funções lineares da taxa de deformação, em conformidade com a mais antiga lei da viscosidade de Newton. Considerando que a hipótese da linearidade é evidentemente completamente arbitrária (chute mesmo), não é “a priori” certo que as equações de N-S oferecem uma descrição verdadeira do movimento de um fluido. É necessário, conseqüentemente, verificá-las experimentalmente. As enormes dificuldades matemáticas encontradas quando resolvendo as eqs. de N-S tem até o presente nos impedido de obter uma solução analítica única na qual os termos convectivos interagem genericamente com os termos viscosos (The Millennium Problems, prêmio: 1 milhão de dólares, Mathematics Institute of Cambridge, Massachusetts). Entretanto, soluções conhecidas, tais como escoamento laminar através de duto circular, bem como escoamentos de camada limite, concordam tão bem com os experimentos que a validade geral das equações de N-S mal pode ser posta em dúvida.
Equações de Navier-Stokes
Para um fluido newtoniano, a tensão viscosa é diretamente proporcional à taxa de deformação por cisalhamento (taxa de deformação angular). Para um escoamento newtonianos, unidimensional e laminar, a tensão de cisalhamento é proporcional à taxa de deformação angular: . Para um escoamento tridimensional, a situação é um pouco mais complicada (entre outras coisas, necessitamos usar expressões mais complexas para a taxa de deformação angular. As tensões podem ser expressas em termos de gradientes de velocidade e de propriedades dos fluidos, em coordenadas retangulares, como segue:[pic 1]
[pic 2]
[pic 3]
[pic 4]
[pic 5]
[pic 6]
[pic 7]
Em que p é a pressão termodinâmica local. A pressão termodinâmica está relacionada com a massa específica e com a temperatura por meio de relações termodinâmicas usualmente chamadas de equações de estado.
Introduzindo estas expressões para tensões nas equações diferenciais do movimento, obtemos:
[pic 8]
[pic 9]
[pic 10]
Estas equações de movimento são chamadas de equações de Navier-Stokes. Elas são bastante simplificadas quando aplicas ao escoamento incompressível com viscosidade constante. Sob estas condições, as equações se reduzem a:
[pic 11]
[pic 12]
[pic 13]
Esta forma das equações de Navier-Stokes é provavelmente (junto com a equação de Bernoulli) o conjunto de equações mais famoso em mecânica dos fluidos, e tem sido largamente estudado. Estas equações, mais a equação da continuidade, formam um conjunto de quatro equações diferenciais parciais não lineares acopladas para . Em princípio, essas quatro equações descrevem muitos escoamentos comuns, as únicas restrições são que o fluido deve ser newtoniano (com uma viscosidade constante) e incompressível. Para o caso de escoamento sem atrito (), as equações do movimento reduzem-se à equação de Euler:[pic 14][pic 15]
[pic 16]
Aplicação em escoamento de fluido entre duas placas horizontais
Seja um fluxo viscoso, laminar e incompressívelem regime permanente entre duas placas infinitas em (fluxo 2D em y-x), paralelas e horizontais fixas. O fluido move-se com.[pic 17][pic 18][pic 19]
Aplicando a LMC e a equação de Navier-Stokes em x para obter a forma de, usando as condições de contorno do problema[pic 20][pic 21]
- Aplicando a LMC:
[pic 22][pic 23][pic 24][pic 25][pic 26][pic 27]
[pic 28]
, ou seja, o fluxo é uniforme em x.[pic 29]
- Aplicando Navier-Stokes:[pic 30]
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