Exame g2 exercicio7 01 em álgebra

Na Figura 6, está representada, num referencial o. n. xOy, parte do gráfico da função g.

exame g2 exercicio7 01

Sabe-se que:

• g é uma função contínua em \mathbb{R}

• g não tem zeros

• a segunda derivadaf'', de uma certa função f tem domínio \mathbb{R}

e é definida por f''\left( x \right) = g\left( x \right) \times \left( {{x^2} - 5x + 4} \right)

• f\left( 1 \right) \times f\left( 4 \right) > 0

Apenas uma das opções seguintes pode representar a função f.

exame g2 exercicio7 02

Elabore uma composição na qual:

• indique a opção que pode representar f

• apresente as razões que o levam a rejeitar as restantes opções

Apresente três razões, uma por cada gráfico rejeitado.

Resolução do Exercício:

•f''\left( x \right) = g\left( x \right) \times \left( {{x^2} - 5x + 4} \right)

g\left( x \right) > 0,\forall x \in \mathbb{R}

{x^2} - 5x + 4 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{{5 \pm \sqrt {{{\left( { - 5} \right)}^2} - 4 \times 1 \times 4} }}{{2 \times 1}} \Leftrightarrow

\Leftrightarrow x = \frac{{5 \pm 3}}{2} \Leftrightarrow x = 4 \vee x = 1

exame g2 exercicio7 03

Logo, f''\left( x \right) < 0 em \left] {1,4} \right[;

Logo, neste intervalo a concavidade tem que estar voltada para baixo, o que não acontece no gráfico I.

•f\left( 1 \right) \times f\left( 4 \right) > 0, logo,f\left( 1 \right) e f\left( 4 \right) têm que ter o mesmo sinal, o que não se verifica no gráfico II.

• Como a função f'' está definida em \mathbb{R}, então a função f é contínua em \mathbb{R}, o que não se verifica no gráf