Exercício Interpolação de Newton - Cálculo Numérico

(5) Sendo y = f(x) uma função dada nos pontos

x	0,15	0,2	0,25	0,3	0,35	0,4
f(x)	0,12	0,16	0,19	0,22	0,25	0,27

Estime:

(5.1) f(0,28), usando um polinômio de grau 2;

(5.2) o erro de truncamento máximo cometido no item (5.1).

Resolução:

(5.1)

        Para desenvolver o exercício utilizou-se a interpolação de Newton, pois no tópico 5.2 foi pedido o erro de truncamento.

        O enunciado solicitou a utilização de um polinômio de grau 2, portanto, foram necessários 3 pontos para a resolução. Os pontos escolhidos foram destacados na tabela 1. Para escolher os pontos levou-se em consideração a valor pedido no enunciado 5.1 onde x = 0,28.

x	0,15	0,2	0,25	0,3	0,35	0,4
f(x)	0,12	0,16	0,19	0,22	0,25	0,27

Tabela 1: Pontos utilizados

        Com o auxílio do Excel, construiu-se a tabela das diferenças divididas (tabela 2) o que possibilitou o encontro dos valores a serem utilizados no polinômio de Newton e também na resolução do item 5.2 nos fornecendo o máximo valor encontrado no cálculo das diferenças divididas.

	x	Ordem 0	Ordem 1	Ordem 2	Ordem 3
x0	0,15	0,12
			0,8
x1	0,2	0,16		-2
			0,6		13,33333333
x2	0,25	0,19		0
			0,6		0
x3	0,3	0,22		0
			0,6		-13,33333333
x4	0,35	0,25		-2
			0,4
x5	0,4	0,27

 Tabela 2: Diferenças divididas

        

O polinômio de Newton de segundo grau para resolução do item 5.1 é dado por:

𝑃2(𝑥) = 𝑑0 + 𝑑1 ∗ (𝑥 − 𝑥0 ) + 𝑑2 ∗ (𝑥 − 𝑥0 )(𝑥 − 𝑥1 )

Substituindo os valores obtidos na tabela das diferenças divididas encontramos o polinômio interpolante para a resolução do exercício:

𝑃2(𝑥) = 0,16 + 0,6 ∗ (𝑥 – 0,2 ) + 0 ∗ (𝑥 – 0,2 )(𝑥 – 0,25 )

Para x=0.28 temos:

𝑃2(0.28) = 0,16 + 0,6 ∗ (0,28 – 0,2 ) + 0 ∗ (0,28 – 0,2 )(0,28 – 0,25 )

𝑃2(0,28) = 0,208

(5.2)

        Para encontrar o erro de truncamento cometido no item 5.1 utilizou-se a equação a seguir, onde f[𝑥0, 𝑥1, 𝑥2, 𝑥] é máximo valor encontrado nas diferenças divididas.

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