Exercicios de integral

Cálculo Diferencial Integral III

Prof. Márcio Deleprani

Cálculo Diferencial de Funções de Mais de Uma Variável.

Funções de Mais de Uma Variável

1. Exemplos:

i) V = πr²h (volume de um cilindro)

ii) PV = nRT (equação de estado de um gás ideal)

iii)  M = C (1+ i)t (montante de um capital).

iv) f (x, y) = 25 − x2 − y2

v) g(x, y, z) = x3 − 4yz2

2. Seja f a função definida por [pic 1][pic 2] , calcule:

a) f(3,-4)=

b) f(-2,1)=

3. A função g está definida por [pic 3][pic 4], ache:

a) g(1,3,-2)=

b) g(2a,-4b,3c)=

Limites de funções de mais de uma variável

4. Calcule os limites das funções abaixo:

[pic 5]

[pic 6]

[pic 7]

[pic 8]

[pic 9]

[pic 10]

[pic 11]

1.2 Derivadas Parciais

A discussão sobre derivação de uma função de n variáveis com valores reais reduz-se ao caso unidimensional, se tratarmos uma função de n variáveis como uma função de uma variável de cada vez, mantendo fixas as demais variáveis. Isso nos leva ao conceito de derivada parcial.

1. Se f(x,y) = 3x²-2xy+y², calcule:

1. [pic 12][pic 13]
2. [pic 14][pic 15]

1. Vamos encontrar D1f(3,-2), para o exercício 1.

1. Ache [pic 16][pic 17] e [pic 18][pic 19] se f(x,y)=3x³-4x²y+3xy²+sen xy²
2. Encontre as derivadas parciais indicadas ao lado.

1. f(x,y)= 6x+3y-7; D1 f(x,y)
2. f(x,y)= 4x²-3xy; D1 f(x,y)
3. f(x,y)= 3xy+6x-y²; D2 f(x,y)
4. f(x,y)= xy²-5y+6; D2 f(x,y)
5. f(x,y,z)= x²y-3xy²+2yz; D2 f(x,y,z)
6. f(x,y,z)= x²+4y²+9z²; D1 f(x,y,z)
7. f(x,y,z,r,t)= xyr+yzt+yrt+zrt; Dr f(x,y,z,r,t)

1.  Usando os teoremas de derivação e mantendo todas as variáveis constantes, menos uma, determine a derivada parcial indicada.

1. f (x,y) sen3x cos2y; fx (x,y )

      6.  Sabendo-se que [pic 20][pic 21] , determine:

           a)  f1 (3,0,17) =

           b)  f2  (1, 0, 2) =

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